Matematické Fórum

Indie · 04. 10. 2012 20:09

Ahojte,

potrebujem dokázať indukciou, že každé prirodzené číslo je súčtami a rozdielmi mocnín 3ky (pričom umocňujeme na 0 az n). Každá mocnina (1,3,9,27,..) sa môže použiť iba raz. A neviem prísť na všeobecný vzorec tej postupnosti, aby som to potom mohla dokázať.
Dik za pomoc.

radekm · 04. 10. 2012 21:39

1) Indukcí lze dokázat, že každé $x \in\mathbb{N}_0$ lze reprezentovat v trojkové soustavě tj. $a_n3^n + \cdots +a_03^0 = x$ , kde $a_i \in \{0,1,2\}$ (tohle možná ani nemusíš dokazovat).

2) Z trojkové soustavy lze snadno převádět do vyvážené trojkové soustavy (převod je popsán hned na 2. stránce) - budeš muset indukcí dokázat korektnost převodu.

Při důkazu 1) indukcí se může hodit, že číslo ve trojkové soustavě má vždy jeden z následujících 4 tvarů:
i) Je to $0$ .
ii) Je to $3\cdot a$ , kde $a$ je menší číslo ve trojkové soustavě.
iii) Je to $(3\cdot a) + 1$ , kde $a$ je menší číslo ve trojkové soustavě.
iv) Je to $(3\cdot a) + 2$ , kde $a$ je menší číslo ve trojkové soustavě.

radekm · 04. 10. 2012 23:34

Nápověda pro dokazování korektnosti převodu 2):

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Indie · 07. 10. 2012 16:57

Ďakujem, veľmi si mi pomohol.

V 1) som dala, že $a \in\mathbb{N}_0$ , a tým pádom som to nemusela dokazovať zvlášť pre 0.

Nevedela som, ako to celé zapísať, tak som pre každú z tých 3 skupín použila aritmetickú postupnosť

$a_{n+1} =a_n +3$ $a_{n} =\sum\nolimits_{k=0}^{n}{a_k \cdot 3^k }$

a dokazovala to pre tri rôzne skupiny

$a_{n_{0}} =3 \cdot a$ $a=\frac{a_{n_{0}}}{3}$

$a_{n_{1}} =3 \cdot a+1$ $a=\frac{a_{n_{1}}-1}{3}$

$a_{n_{2}} =3 \cdot a+2$ $a=\frac{a_{n_{2}}-2}{3}$

Dúfam, že to mám dobre.

V 2) si myslím, že stačí dokázať ten prevod 2ky na -1 a 1 tak som to dokazovala

$2\cdot3^k = 3^{k+1}-3^k$