Matematické Fórum

math.oaf

Viete prosím Vás ktosi definovať dotyčnicu( tečnu) ku krivke? Dik

Problém, ktorý ma k tomu viedol:
ak určíme prvú derivaciu funkcii: $[\frac{x}{1+x^2 }]$ a $[\sin x]$ v bode $x_0=0$ bude to 1 co ma byt podla geom.interpretacie derivacie(*) smernica dotycnice, teda je y=x dotycnicou v [0,0].
Ale body danej krivky sa nachadzaju v obidvoch polrovinach vitatych priamkou y=x
(wikipedia ceska: ,, tecna...leží všechny okolní body křivky ve stejné polorovině určené přímkou)
co je v spore s wikipedackou definiciou lebo ,,pravo,, okolne body lezia v jednej a ,, lavo,, okolne body v druhej polrovine, teda by to nemala byt dotycnica, ale my vieme podla (*) ze to je dotycnica. Dalej:Ale ak je y=x dotycnicou-jeden spolocny bod s krivkou a v oboch polrovinach... su body krivky, tak to by sme mohli rovno nazvat aj secnicu(prechadzajucu jednym bodom) dotycnicou lebo tieto dve vlastnosti ma rovnake, z toho plynie otazka: aky je rozdiel medzi ,,cudnou dotycnicou,, y=x a secnicou?
Dalsiu def. dotycnice som nasiel pomocou derivacii, co je podla mna nekorektne, lebo derivaciu vysvetlujeme geometricky pomocou dotycnice, a ked neviem co to je dotycnica, definovat ju naopak pomocou derivacie je hlupost,myslim.(vlastne by to aj slo, ak $[\exists f\prime(x_0)]$ potom priamku s $[k=f\prime(x_0)]$ prechadzajucu bodom $[x_0,f(x_0)]$ nazvime dotycnicou...
ale tym by sme sa len nasilnicky vyhli problemu z uvodu :D a nemohli by sme derivaciu interpretovat ako smernicu dotycnice...)
Intuitivne viem co by bola dotycnica a co nie, ale intuicia sa moze milit a preto chcem definici.
Asi je to pridlhe, ale chcel som sa spravne vyjadrit :D.

lukaszh

↑ math.oaf:
Citácia:
Tečna je přímka, která má s křivkou společný jeden bod dotyku. Na rozdíl od průsečíku leží všechny okolní body křivky...

Nikde nie je napísané, že všetky body krivky. Je tam napísané body v okolí. Teda také $[x;f(x)]$ , že
$x\in(a-\delta;a+\delta)\nlf(x)\in(f(a)-\varepsilon;f(a)+\varepsilon)$
kde dotyčnicu zostrojujeme v bode $[a;f(a)]$

Pavel Brožek

↑ lukaszh:

Vezměme si např. opravdu jednoduchou funkci $f(x)=x^3$ . V bodě (0,0) má tečnu y=0, body funkce pro x>0 jsou nad tečnou a body funkce pro x<0 jsou pod tečnou. Podle wikipedie to tedy není tečna.

↑ math.oaf:

Na wikipedii se nelze vždy spolehnout a myslím, že je to právě tento příklad (zvláště první věta v článcích bývá hodně zjednodušující, asi ve snaze vystihnout pojem v jedné větě).

Lepší definice tečny je podle mě právě pomocí derivace - vezmu si tečný vektor v ke křivce v bodě P a body tečny jsou pak dány jako x=P+tv, kde t je reálné číslo.

kaja.marik · 21. 11. 2008 08:27

↑ BrozekP:

A pokud to nekdo nechce definovat pomoci derivace, tak to muze zkusit pomoci diferencialu.

Myslim ze tecna ma geometricky ten stejny smysl jako diferencial - nejlepsi linearni aproximace.

Matematické Fórum

#1 20. 11. 2008 23:15 — Editoval math.oaf (21. 11. 2008 07:32)

tečna ku křivce

#2 20. 11. 2008 23:38 — Editoval lukaszh (20. 11. 2008 23:43)

Re: tečna ku křivce

#3 20. 11. 2008 23:50 — Editoval BrozekP (20. 11. 2008 23:51)

Re: tečna ku křivce

#4 21. 11. 2008 08:27

Re: tečna ku křivce

Zápatí