Matematické Fórum

PanTau · 05. 10. 2012 16:08 — Editoval PanTau (05. 10. 2012 16:25)

Ahoj, prosím o radu jak zjisti kořenový činitel... (snad se to tak opravdu jmenuje)

$x^{2}+x-2$

kořenový činitel je:

$(x-1)(x+2)$

- Prosím o vysvětlení ,,jak na to,,

- Existuje nějaký vzorec?

A co potom příklad:

$x^{2}+x$

Děkuji :o)

Takjo · 05. 10. 2012 16:39

↑ PanTau:
Dobrý den,
jde o tzv. rozklad kvadratického trojčlenu, nebo dvojčlenu na kořenové činitele.
Řečeno jednoduše, vyjádřit toto ve tvaru součinu.
a) oba příklady řešte jako kvadratické rovnice s nulovou pravou stranou
b) vypočtěte kořeny
c) použijte Vietovy vzorce

Takže: $x^{2}+x-2=0$ ; kořeny jsou: $x_{1}=1$ $x_{2}=-2$
A po použití vztahu: $(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})=0$ dostanete
$(x-1)\cdot (x-(-2))=0$ a po úpravě
$(x-1)\cdot (x+2)=0$

Obdobně druhý příklad... :)

PanTau · 05. 10. 2012 16:48

↑ Takjo:

Co se týče druhého příkladu (c=0?)

$D=1$

$x1=0$

$x2= -1$

-----------------
Kořeny
$x * (x+1)$

Je to správně? :-)

Takjo · 05. 10. 2012 16:50

↑ PanTau:
Dobrý den,
ano, kořeny jsou správně $x_{1}=0$ $x_{2}=-1$
a rozklad je $x\cdot (x+1)$

Rumburak · 05. 10. 2012 16:54

↑ PanTau:

Ahoj.

Můžeme vyřešit kvadratickou rocnici $x^{2}+x-2=0$ , jejíž kořeny jsou právě čísla 1, -2.

Obecněji: Následující výroky jsou ekvivalentní:

(1) pro libovolné komplexní (a tím spíše reálné) číslo $x$ platí $x^{2}+px + q = (x-r)(x-s)$ ,

(2) $\{ r, s\}$ je množina všech kořenů normované kvadratická rovnice $x^{2}+px + q=0$ ,

(3) $r + s = -p , rs = q$ (Vietovy vztahy).

V jednoduchých případech, jakým je i polynom $x^{2}+x-2$ , se kořeny $r, s$ dají snadno "uhodnout" ze vztahů (3) .