Matematické Fórum

xxxxx19

ahoj,
mohl by mi nekdo poradit jak vyresit pro ktere a je funkce definovana resp. pro ktere a integral konverguje? dky za napady

$F(a)=\int_{0}^{\pi /2}tan^{a}(x) dx$

Rumburak · 04. 10. 2012 17:01

↑ xxxxx19:

Ahoj, jen lehce napovím:

$\lim_{x \to 0+} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0+} \frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x} = ?$ ,

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-} $ \frac{\pi}{2}-x$ \tan x = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-} $ \frac{\pi}{2}-x$ \frac{\sin x}{\cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-} \frac{$ \frac{\pi}{2}-x$}{\sin $ \frac{\pi}{2}-x$} \cos $ \frac{\pi}{2}-x$ = ?$ .

vanok · 04. 10. 2012 17:05 — Editoval vanok (04. 10. 2012 17:06)

Ahoj ↑ xxxxx19:,
Zda sa mi, ze ak polozis $u'(x)=1$ a $v(x)=\tan^{a}(x)$
najdes pomocou integracie per partes zaujimavu relaciu.

xxxxx19

diky, relaci jsem tedy nenasel ale obe ty limy jsou rovny jedné

to jako ze v nule to mam srovnat s funkci x a v pi/2 s funkci 1/(pi/2-x )?

ale proc tam teda nemam prevracenou hodnotu v tom zlomku, a neni to v tom krajnim bode definovany. stale nvm jak na to

pak tky nvm jak by to souviselo s tim parametrem a

xxxxx19 · 04. 10. 2012 19:31

Konkrétně by mě zajímalo jestli na to můžu napasovat tenhle teorem:

Rumburak · 05. 10. 2012 10:16

↑ xxxxx19:

to jako ze v nule to mam srovnat s funkci x a v pi/2 s funkci 1/(pi/2-x )?

Ano. Přesněji: srovnáváme takto funkci $\tan x$ v pravém okolí bodu $0$ resp. v levém okolí bodu $\frac{\pi}{2}$ , jsou-li tato okolí dotatečně malá.

Konkrétně by mě zajímalo jestli na to můžu napasovat tenhle teorem:

Ano, přesně tento teorém je vhodné použít, když před tím ješte provedeme úpravu

$F(a)=\int_{0}^{\pi /2}\tan^a x \mathrm{d}x = G(a) + H(a)$ ,

kde $G(a) = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^a x \mathrm{d}x$ , $H(a) = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\tan^a x \mathrm{d}x$ .

(Teorém se aplikuje na každý z obou integrálů G, H zvlášť.)

xxxxx19

no moment ale, ta funkce 1/(pi/2-x ) diverguje od pi/4 do pi/2. co to teda prokazuje?

to rozdeleni napr v polovine chapu, to je technicky jen aby to sedelo.

Rumburak

Co to znamená, že

funkce 1/(pi/2-x ) diverguje od pi/4 do pi/2.

?

Že v jeho pravém krajním bodě má nevlastní limitu zleva stejnou jako funkce tangens a že se k této limitě blíží dokonce
stejne rychle jako funkce tangens ? To je přece v pořádku, vždyť právě takovou funkci požaduje citovavaný teorém .
Přesněji: teorém požaduje funkci, která by byla v onom nepříjemném krajním bodě asymptoticky ekvivalentní funkci
$\tan^a x$ a takovou funkcí pak je $$\frac{\pi}{2}-x$^{-a}$ , z níž se integrál počítá snáze než z funkce $\tan^a x$ a v tom je právě
smysl oné věty: složitější inegrand nahradíme jednodušším, avšak asymptoticky ekvivalentním, a výpočtem jednoduššího
integrálu zjistíme, jak je to s konvergencí integrálu původního, který v mnoha případech ani spočítat neumíme.

xxxxx19

aha takhle tam je ta promenna a. ja jsem myslel integral funkce g od a do b konvergenci.

Matematické Fórum

#1 04. 10. 2012 16:25 — Editoval xxxxx19 (04. 10. 2012 16:26)

Konvergence integralu

#2 04. 10. 2012 17:01

Re: Konvergence integralu

#3 04. 10. 2012 17:05 — Editoval vanok (04. 10. 2012 17:06)

Re: Konvergence integralu

#4 04. 10. 2012 17:31 — Editoval xxxxx19 (04. 10. 2012 17:50)

Re: Konvergence integralu

#5 04. 10. 2012 19:31

Re: Konvergence integralu

#6 05. 10. 2012 10:16

Re: Konvergence integralu

#7 05. 10. 2012 12:18 — Editoval xxxxx19 (05. 10. 2012 12:20)

Re: Konvergence integralu

#8 05. 10. 2012 16:20 — Editoval Rumburak (05. 10. 2012 16:22)

Re: Konvergence integralu

#9 05. 10. 2012 17:22 — Editoval xxxxx19 (05. 10. 2012 17:28)

Re: Konvergence integralu

Zápatí