Matematické Fórum

Důkaz se skládá z těchto částí:
1) je-li A reflxivní, je A^(-1) reflexivní
2) průnik dvou reflexivních relací je reflexivní relace
3) je-li A tranzitivní, je A^(-1) tranzitivní
4) průnik dvou tranzitivních relací je tranzitivní relace
5) je-li A relace, je A průnik A^(-1) symetrická

Užitím 1) a 2) máme, že zkoumaná relace je reflexivní.
Užitím 3) a 4) máme, že zkoumaná relace je tranzitivní.
Konečně užitím 5) máme symetrii.

Napiš, které z částí 1) až 5) umíš dokázat a u kterých chceš poradit. Rada ke všem dohromady je rozepsat definice :) u některých je to pak zřejmé.

Vzhledem k tomu, že nerozumím tvým zápisům tak to přepíšu všecko:
1) Pokud je A reflexivní, pak pro všechna x platí (x,x) náleží do A, dle definice inverzní relace pak pro všechna x platí (x,x) náleží do A^(-1), A^(-1) je také reflexivní.
2) Pokud pro všechna x náleží (x,x) do A a současně (x,x) do B, pak (x,x) náleží do A průnik B
3) Pokud je A tranzitivní a (x,y) a (y,z) náleží do A^(-1), pak (z,y) a (y,x) náleží do A, z tranzitivity (z,x) náleží do A, (x,z) náleží do A^(-1), což jsme chtěli dokázat.
4) Pokud (x,y) a (y,z) patří do průniku relací A,B, pak (x,y) a (y,z) patří do A, podle tranzitivity A dvojice (x,z) náleží do A.
    Navíc (x,y) i (y,z) náleží do B, podle tranzitivity B dvojice (x,z) náleží do B.  Shrnutím předcozích dvou vět: (x,z) náleží do průniku, průnik je tranzitivní.
5) Pokud (x,y) náleží do průniku A a A^(-1), pak (x,y) náleží do A, z definice inverzní relace (y,x) náleží do A^(-1), tedy i do našeho průniku, tento průnik je proto symetrický.

↑ Mautinek:Spraveno.