Matematické Fórum

xxxxx19

Ahoj, buď
$F(p,q) := \int_{0}^{\infty }\frac{x^{p}}{1+x^{q}}$
a zjištujeme kdy je F(p,q) definována, resp. kdy integral konverguje.

Označím si:
$A(p,q) := \int_{0}^{1}\frac{x^{p}}{1+x^{q}}$
$B(p,q) := \int_{1}^{\infty }\frac{x^{p}}{1+x^{q}}$

Zjištuji konvergenci A:
budu porovnávat s funkcí $g(x)=x^{p}$

$\lim_{x\to0+}\frac{x^{p}}{1+x^{q}}*\frac{1}{x^{p}}=\lim_{x\to0+}\frac{1}{1+x^{q}}=1$
pro $q>0$

A tedy A konverguje prave tehdy kdyz $\int_{0}^{1}x^{p}dx$ koverguje a to je kdyz $p>-1$

Zjištuju konvergenci B:
budu porovnávat s funkcí $g(x)=x^{p-q}$

$\lim_{x\to\infty }\frac{x^{p}}{1+x^{q}}*\frac{x^{q}}{x^{p}}=\lim_{x\to\infty }\frac{x^{q}}{1+x^{q}}=1$
pro $q>0$

A tedy A konverguje prave tehdy kdyz $\int_{1}^{\infty}x^{p-q}dx$ koverguje a to je kdyz $p<q-1$

Závěr je takový že funkce konverguje když:
pro $q>0$ $p\in (-1;q-1)$
pro $q<0$ $nevim ???$
pro $q=0$ $nevim ???$

Je správně to co jsem napsal? Co mám dělat s tim $q=0$ a $q<0$ ? Díky.

Stýv · 06. 10. 2012 17:17

$p\in (-1;q-1)$ imho jako výsledek stačí. pro $q\leq0$ je ten interval prostě prázdný. pokud by se někomu nelíbil interval typu $(-1,-2)=\emptyset$ , tak proti zápisu $-1<p<q-1$ už snad nic namítat nejde

xxxxx19

takže ty se domníváš prostě že vyhodnocení $F(p,0)$ nebo $F(p,-1)$ nedává smysl, že tam funkce není definována? Chápu to správně?

Edit: Já si totiž myslim, že si akorát nevím rady s diskuzí.

Stýv · 07. 10. 2012 13:11

↑ xxxxx19: z tvých výpočtů to tak vychází

xxxxx19 · 07. 10. 2012 13:36

ale není to jen proto, že $q>0$ tam mám jako předpoklad?

Stýv · 07. 10. 2012 14:10

↑ xxxxx19: sry, to jsem přehlídl. pro $q\leq0$ srovnej v B s $x^p$

xxxxx19 · 07. 10. 2012 15:40

myslíš, že bs to mohl doplnit ten výpočet? a co u A kde mám $x^{q}$ ve jmenovateli?

Matematické Fórum

#1 06. 10. 2012 17:05 — Editoval xxxxx19 (06. 10. 2012 17:07)

Konvergence integrálu racionální funkce

#2 06. 10. 2012 17:17

Re: Konvergence integrálu racionální funkce

#3 06. 10. 2012 17:19 — Editoval xxxxx19 (06. 10. 2012 17:25)

Re: Konvergence integrálu racionální funkce

#4 07. 10. 2012 13:11

Re: Konvergence integrálu racionální funkce

#5 07. 10. 2012 13:36

Re: Konvergence integrálu racionální funkce

#6 07. 10. 2012 14:10

Re: Konvergence integrálu racionální funkce

#7 07. 10. 2012 15:40

Re: Konvergence integrálu racionální funkce

Zápatí