Matematické Fórum

rleg · 06. 10. 2012 13:54

Dobrý den
mám výraz $\log{\sqrt{1+x^2}}$ a chci zanedbat jedničku a převést tak výraz na $\log{\sqrt{x^2}}$ . Zajímá mě od jakého x bude chyba takového zanedbání menší než 1%. Vytvořil jsem si tedy rovnici

$\log{\sqrt{1+x^2}}-\log{\sqrt{x^2}}<0,01 \nl \log{\sqrt{1+x^2}}-\log{\sqrt{x^2}}<\log{10^{0,01}} \nl \log{\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{x^2}}}<\log{10^{0,01}}\nl \log{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}<\log{10^{0,01}} \nl \frac{1}{x^2}<(10^{0,01})^2-1\nl x>\sqrt{\frac{1}{10^{0,02}-1}} \nl x> 4,606 \text{ -přibližně}$

Je tahle úvaha správná?

Bati · 06. 10. 2012 14:40

To záleží na tom, co rozumíš tou chybou. To, co jsi počítal, je hodnota x, od kterého bude rozdíl mezi těmi dvěma funkcemi menší než 0,01, což je nějaká konstanta. Uvědom si, že teoreticky bys mohl mít třeba funkce $x$ a $x+0,005$ , které tvoje kritérium splňují pro všechna x a přitom intuitivně by se ta chyba měla zmenšovat s rostoucím x.
Proto je lepší tu chybu vztahovat k nějakému základu, v tvém případě např. k fci $\log{\sqrt{x^2}}$ a počítat, kdy $\frac{\log{\sqrt{1+x^2}-\log\sqrt{x^2}}}{\log{\sqrt{x^2}}}<0,01$ , což ale asi bude náročnější pro výpočet.

rleg · 06. 10. 2012 17:12

↑ Bati:
Díky, já si říkal, že mi tam něco chybí. Zkusil jsem to přepočítat, až jsem došel k výrazu, který jsem radši přenechal Wolframu a ten mi vyhodil uspokojivý výsledek. Snad jsem v úpravách neudělal chybu.

$\frac{\log{\sqrt{1+x^2}}-\log{\sqrt{x^2}}}{\log{\sqrt{x^2}}}<0,01 \nl \log{\sqrt{1+x^2}}-\log{\sqrt{x^2}}<0,01\cdot \log{\sqrt{x^2}} \nl \log{\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{x^2}}}<\log{$x^{\frac22}$}^{\frac{1}{100}}\nl \log{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}}<\log{x^{\frac{1}{100}}} \nl \frac{1}{x^2}<x^{\frac{1}{50}}-1\nl 1<x^{\frac{1}{50}}- \frac{1}{x^2}\nl 1<\frac{x^{\frac{101}{50}}-1}{x^2}$

Wolfram vyplivnul výsledek x>5,399

Bati · 06. 10. 2012 17:49

↑ rleg:
Jo, taky mi to tak vychází http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … 9%5E50%3Cx

Matematické Fórum

#1 06. 10. 2012 13:54

Logaritmy - úvaha o zanedbání členů výrazu

#2 06. 10. 2012 14:40

Re: Logaritmy - úvaha o zanedbání členů výrazu

#3 06. 10. 2012 17:12

Re: Logaritmy - úvaha o zanedbání členů výrazu

#4 06. 10. 2012 17:49

Re: Logaritmy - úvaha o zanedbání členů výrazu

Zápatí