Matematické Fórum

Vaclav · 14. 11. 2008 12:44

Dobrý den přeji. Mám problém s příkladem:
Objímka se posouvá podél vodorovné tyče s čepem (h=7m), který se pohybuje v otvoru ramene AB. Obr. K-4. Rameno se kýve s polohovým úhlem φ(t)= 90-30 cos t.
Určete hodnotu r(t), složky rychlosti vρ(t)a vφ(t), složky zrychlení aρ (t) a aφ(t),
Ověřte, že výsledný vektor rychlosti a zrychlení bude ležet ve směru vodorovné tyče
např. pro čas t (volte v rozmezí 4÷6) s.
skožka ρ....radiální
φ....transverzální
Vyúpočítal jsem si jen derivaci φ(t)= 90-30 cos t , ta mi vyšla φ'(t)= 30 sin t
A dále nevím. Chtěl jsem vypočítat i ρ'(t) , ale k tomu potřebuju znát ρ(t).
Ani nevím zda tento postup je správný. Za každou raedu děkuji.

perdy · 14. 11. 2008 14:30

Ahoj,

Zložky rýchlosti určíš ako časové derivácie zložiek polohy, zložky zrýchlenia ako časové derivácie zložiek rýchlosti.
Čo sa týka overenia, že vektor rýchlosti a zrýchlenia leží v smere vodorovnej tyče, už od začiatku predpokladáš, že y(t) =r(t) sin φ(t) = h = konst., takže jeho každá derivácia je nulová.

Vaclav · 14. 11. 2008 14:56

Omlouvám se, ale v zadání má být místo určete hodnotu r(t) URČETE HODNOTU ρ(t).
Potom jde tedy o polární souřadnice, a tím pádem jak jsem už psal mi nejde vypočítat vρ(t) a vφ(t),
protože vρ(t) = ρ'
a vφ(t) = ρ * φ'
a jak jsem řekl ρ(t) neznám.
Tak to asi chce zjistit nejakou rovnici, ale na to nemuzu prijit.
Dik za odp.

perdy · 14. 11. 2008 22:44

Mne sa zdá, že ρ = r. Ak to tak nie je, vyznač prosím do obrázku čo je to ρ.

rughar · 15. 11. 2008 00:47 — Editoval rughar (15. 11. 2008 00:49)

Začal bych tím, že bych naboural zadání, protože je tam spousta nejasností. Jednak je to problém značení r a ρ. To ale přepdokládám nebude zas takový problém. Zkrátka se někdo upsal a místo obou tam mělo být jenom jedno písmenko. Co je horší je zadání sořadnice φ. Co je u všech všudy kosinus z času?? No ale když pominu tyto nesmysly, tak by se to mělo řešit následovně.

Nejlepší bude nejdřív řešit problém v rovných souřadnicích. Zavedu si souřadnici x, po které válec tečně klouže. Platí následující vztah

$x = h*\cot [\varphi(t)]$

Následně spočítáme rychlost a zrychlení cívky

$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{\partial x(\varphi)}{\partial \varphi} \frac{d \varphi}{dt}$
$a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{\partial v_x(\varphi,t)}{\partial \varphi} \frac{d \varphi}{dt}+\frac{\partial v_x(\varphi,t)}{\partial t}$

S tím, že

$\frac{\partial x(\varphi)}{\partial \varphi} = - \frac{h}{\sin^2 \varphi}$
$\frac{d \varphi}{dt} = ?$ Toto bych rád napsal, ale v zadání je evidentně chyba, nicméně není problém to spočítat, pokud je známé φ od t.

Abych mohl počítat zrychlení, tak musím znát rychlost. Uvedený vzorec možná pro někoho bude vypadat složitě, ale v podstatě je to velmi prsotý výpočet. Rychlost vx výjde z předcházejícího výpočtu že je nějak závislá na φ a na t. Samozřejmě, že můžeme φ vyjádřit v t a pak to jednom derivovavat podle času. Mnohem jednoduší je ale to derivivat vyše uvedeným způsobem. Je to ale úplně jedno. Jkmile máme rychlsot a zrychlení pro souřadnici x, bude platit:

$v_{\varphi} = v_x \sin(\varphi)$
$v_{r} = v_x \cos(\varphi)$

$a_{\varphi} = a_x \sin(\varphi)$
$a_{r} = a_x \cos(\varphi)$

Silně nedoporučuju derivovat v polárních souřadnicích. Tyto souřadnice jsou totiž křivé a platí zde, že vektor zrychlení není roven derivaci vektoru rychlosti podle času! Ke zrychlení se totiž dostaneme tak, že se podíváme v nějakém bodě na hodnotu rychlosti a porovnáme s hodnoutou o kousíček dál (princip derivace). Jenomže o kousíček dál se nám taky otočili souřadnice. Abychom mohli porovnat vektor rychlosti s vektorem rychlosti "o kousíček dál", museli bychom ten druhý z nich otočit do souřadnic toho původního. Samozřejmě že to de, ale je to na tento příklad kanon na vrabce.

Vaclav · 17. 11. 2008 09:13

Prosím Vás jak se dostanu k tomu vzorci pro vx a ax .
Pro mě je to velmi složité, nemohl by mi někdo s tím výpočtem pomoct?

perdy · 17. 11. 2008 13:52

derivácia zloženej funkcie, derivácia funkcie viacerých premenných

rughar · 21. 11. 2008 20:13 — Editoval rughar (21. 11. 2008 20:13)

↑ Vaclav:

Je to napsané v mém příspěvku. Pokud si nevís přesně rady jak na to, tak první část v tom výrazu pro vx jsem přímo napsal kolik se rovná:

$\frac{\partial x(\varphi)}{\partial \varphi} = - \frac{h}{\sin^2 \varphi}$

Přišel jsem na to tak, že jsem x jednoduše zderivoval podle fi, kde ostatní je konstantní. Vyskytuje se tam ještě :

$\frac{d \varphi}{dt} = ?$

Pokud je zadané například že fi = t + t^3, tak tato derivace bude rovna 1 + 2t^2. Původně bylo psáno, že fi = 90 - 30*cos(t), tedy by tato derivace vyšla v tomto případě 30*sin(t). Mám ale silné podezření, že bylo špatně opsáno zadání. Sinus z něčeho, co je vyjádřeno v sekundách je fyzikální blábol. Vzorec totiž není konzistentní vůči různým jednotkám.

Matematické Fórum

#1 14. 11. 2008 12:44

Kinematika-objimka se posouvá poél vodorovné tyče

#2 14. 11. 2008 14:30

Re: Kinematika-objimka se posouvá poél vodorovné tyče

#3 14. 11. 2008 14:56

Re: Kinematika-objimka se posouvá poél vodorovné tyče

#4 14. 11. 2008 22:44

Re: Kinematika-objimka se posouvá poél vodorovné tyče

#5 15. 11. 2008 00:47 — Editoval rughar (15. 11. 2008 00:49)

Re: Kinematika-objimka se posouvá poél vodorovné tyče

#6 17. 11. 2008 09:13

Re: Kinematika-objimka se posouvá poél vodorovné tyče

#7 17. 11. 2008 13:52

Re: Kinematika-objimka se posouvá poél vodorovné tyče

#8 21. 11. 2008 20:13 — Editoval rughar (21. 11. 2008 20:13)

Re: Kinematika-objimka se posouvá poél vodorovné tyče

Zápatí