Matematické Fórum

nicnevím · 07. 10. 2012 17:36

Ahoj, potřeboval bych poradit s tímto:
Určete reálné $a$ tak, aby pro lineární funkci $h: y=ax+2$ platilo: $\forall x\in \langle-4, 4\rangle$ je $f(x)\in \langle-10, 10\rangle$
Zkoušel jsem už všechno možné (počítal jsem s nerovnicemi, rovnice s parametrem, nakreslil jsem si to, vyjádřil do čeho musí náležet ax atd. ) Nejsem však schopen dobrat se výsledku, a proto prosím o pomoc.

nejsem_tonda · 07. 10. 2012 18:26

Ahoj,
trochu zalezi, jestli se chce najit nejake $a$ nebo vsechna $a$ . Chce-li se najit nejake, pak staci zvolit treba $a=0$ a vyhrali jsme. Dale budu predpokladat, ze se chce najit vsechna.

Uloha se jinymi slovy pta na to, jak moc muzeme primku naklopit, aby se pro $\forall x\in \langle-4, 4\rangle$ pohybovalo $f(x)$ nekde mezi $\langle-10, 10\rangle$ . Pro jednodussi argumentaci si to rozdelime na pripad, kdyz $a>0$ (rostouci funkce) a $a<0$ (klesajici funkce). Ukazu treba pripad klesajici funkce, rostouci zkus dodelat podobne.
Hodnoty $f(x)$ klesajici funkce se dobre zkoumaji, protoze maximum (pro $x\in \langle-4, 4\rangle$ ) se nabyva hned na zacatku, tj. pro $x=-4$ . Toto maximum musi byt ale nejvice 10. Tim dostavame podminku
$f(-4)=-4a+2 \leq 10$
I minimum se hleda pekne, protoze toho se nabyva na konci, tj. pro $x=4$ . Minimum pritom musi byt aspon -10. Odtud druha podminka
$f(4)=4a+2 \geq -10$

Tim dostaneme dve podminky pro $a$ a jejich prunikem urcime vsechna pripustna $a$ (mejme pritom na pamati i to, ze predpokladame, ze $a<0$ ).

Zkus podminky dopocitat a sestavit podobne podminky v pripade rostouci funkce.

nicnevím · 07. 10. 2012 18:50

↑ nejsem_tonda: Ty podmínky jsem dopočítal, ale vůbec nechápu princip. Neumím si to představit. Udělal jsem si obdelník se zadanými body na ose x a y (min a max) Nerozumím tomu, jak by mohla být vůbec podmínka nesplněna. Nezlob se, ale vůbec nechápu tu úvahu, jak jsi došel k těm dvěma podmínkám.

jarrro · 07. 10. 2012 19:04

ak majú byť funkčné hodnoty medzi -10 a 10 tak minimum musí byť viac ako -10 a maximum menej ako 10

nicnevím · 07. 10. 2012 19:41

↑ jarrro: ↑ nejsem_tonda:
Tak jsem to snad konečně pobral.
Tudíž pro $a>0$ budou podmínky: $f(4) 4a+2\le 10$ a $f(-4) -4a+2\le -10$
Pak to dám všechno dohromady a vyjde $a\in \langle-2,2\rangle$
Děkuji za pomoc, poslední dobou si připadám dutý :-)

nejsem_tonda · 07. 10. 2012 20:26

↑ nicnevím:
Myslim si, ze jsi spocital a pochopil vsechno spravne, i kdyz v jedne z poslednich nerovnosti je preklep. Ma byt
$f(-4) = -4a+2 \geq -10$
Zaver mas spravne.

Matematické Fórum

#1 07. 10. 2012 17:36

Lineární funkce

#2 07. 10. 2012 18:26

Re: Lineární funkce

#3 07. 10. 2012 18:50

Re: Lineární funkce

#4 07. 10. 2012 19:04

Re: Lineární funkce

#5 07. 10. 2012 19:41

Re: Lineární funkce

#6 07. 10. 2012 20:26

Re: Lineární funkce

Zápatí