Matematické Fórum

Ospli · 07. 10. 2012 20:24

Narazil jsem na tento problém:

$\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{n!}=?$

Totiž, daná posloupnost je rostoucí:
$\sqrt[n]{n!} < \sqrt[n+1]{(n+1)!}$
$n! < [(n+1)!]^{\frac{n}{n+1}}$
$n! < (n!)^{\frac{n}{n+1}}\cdot (n+1)^{\frac{n}{n+1}}$
$\frac{n!}{(n!)^{\frac{n}{n+1}}} < (n+1)^{\frac{n}{n+1}}$
$(n!)^{1-\frac{n}{n+1}} < (n+1)^{\frac{n}{n+1}}$
$(n!)^{\frac{1}{n+1}} < (n+1)^{\frac{n}{n+1}}$
$n! < (n+1)^{n}$

Z toho plyne, že limita musí být větší než 1. ( $\sqrt[1]{1!}=1$ )

Zároveň ale, podle věty o součinu limit a za předpokladu, že
$\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{n}=1, \lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{n-1}=1, \ldots, \lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{1}=1$
můžeme psát
$\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{n!}=\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{n}\cdot \lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{n-1}\cdot \ldots \cdot \lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{1}=1\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1=1$

Stýv · 07. 10. 2012 20:35

větu o součinu limit nemůžeš použít, protože se mění počet činitelů

Bati · 07. 10. 2012 20:43 — Editoval Bati (07. 10. 2012 20:44)

Ano, to je typická zásadní chyba. Věta o aritmetice součinu limit obecně platí jen pro konečný počet činitelů. Jinak bychom také mohli tvrdit, že $\lim_{n\to\infty}(1+\frac1n)^n=1$ , protože každý z činitelů $(1+\frac1n)$ má limitu 1.
Na druhou stranu je pravda, že posl. $\sqrt[n]{n!}$ je rostoucí, doporučuji použít jeden z dolních odhadů faktoriálu a zjistit, že zadaná posloupnost diverguje.

Ospli · 07. 10. 2012 21:28

Děkuji :-)

Matematické Fórum

#1 07. 10. 2012 20:24

Limita posloupnosti n-tá odmocnina z n!

#2 07. 10. 2012 20:35

Re: Limita posloupnosti n-tá odmocnina z n!

#3 07. 10. 2012 20:43 — Editoval Bati (07. 10. 2012 20:44)

Re: Limita posloupnosti n-tá odmocnina z n!

#4 07. 10. 2012 21:28

Re: Limita posloupnosti n-tá odmocnina z n!

Zápatí