Matematické Fórum

hudys · 08. 10. 2012 00:01

Zdravím, mám problém s určením definičního oboru u této funkce:
$f(x) = arcsin(ln x)$

D(f) má vyjít $<e\wedge -1,e>$ , ale vůbec se k tomuto výsledku nemůžu dostat. Předem děkuji za pomoc!

jelena · 08. 10. 2012 09:53

Zdravím,

při hledání def. oboru složené funkce (jak máš v zadání) třeba brát ohled jak na def. obor vnější funkce - arcsin, tak i vnitřní (logaritmus). Tedy vyřešit soustavu nerovnic. Podařilo se tuto soustavu sestavit? Děkuji.

hudys · 08. 10. 2012 15:41

Dostal jsem se maximálně k:
$-1\le lnx\le 1$
a
$x>0$

Rumburak · 08. 10. 2012 16:13

↑ hudys:
Ahoj. Jsi na správné cestě.

Nyní zkus od nerovnosti $-1\le lnx\le 1$ přejít k ekvivalentní nerovnosti tvaru $a \le x \le b$ .
Čemu budou rovna čísla $a, b$ ?

hudys · 08. 10. 2012 18:16

Pokud je ekvivalentí tak
$a=-1$
$b=1$

ne?

jelena · 08. 10. 2012 20:53

Kolegu Rumburaka zdravím :-)

↑ hudys:

jelikož v ekvivalentní nerovnosti nezůstal ln(x), tak ani místo a, b nebude zas -1, 1, provede se stejná operace, jako s ln(x) a vznikne nerovnost $e^{-1} \le x \le e$

Je možné, že jsi více zvykl na přepis soustavy nerovnic $-1\le \ln x\le 1$ na tvar:
$\ln x\ge -1$
$\ln x\le 1$

hudys · 08. 10. 2012 21:57

Mockrát děkuji za reakce. Jenom abych si to ujasnil.

Zbavil jsem se $ln$ a poté jsem $e$ dostal z jedniček pomocí vztahů

$log_{e}x=1$
$e^{1}= x$
a
$log_{e}x=-1$
$e^{-1}= x$

Tedy $D(f) = <e^{-1},e>$

jelena · 08. 10. 2012 22:02

↑ hudys:

ano, je to tak (můžeš si ještě zopakovat "řešení logaritmických nerovnic").

Také se využilo, že vnitřní funkce g(x)=ln(x) je rostoucí. Nalezený def. obor není v rozporu s podmínkou pro ln(x), tedy, že $x>0$ .

Rumburak · 09. 10. 2012 08:36

↑ hudys:

Opětuji pozdrav kolegyni Jeleně :-) .

Aby to bylo zcela jasné, pokusím se dosavadní informace zopakovat ještě trochu jinak.

Já při řešení nerovnice $-1\le \ln x\le 1$ a podobných uvažuji podrobně takto:

1) Jaký matematický úkon musím provést s $\ln x$ , abych z toho dostal pouze $x$ ?
Musím na $\ln x$ aplikovat přirozenou exponenciální funkci $\exp$ , protože $\exp$ a $\ln$ jsou funkce navzájem inversní, takže

(1) $\exp (\ln x) = x$ pro libovolné $x > 0$ .

2) Funkce $\exp$ je rostoucí v celém svém definičním oboru $\mathbb{R}$ , to znamená, že pro libovolná $r, s \in \mathbb{R}$ jsou splněny implikace

$r < s \Rightarrow \exp (r) < \exp (s)$ ,
(2) $r \le s \Rightarrow \exp (r) \le \exp (s)$ .

Z nerovnice $-1\le \ln x\le 1$ tak pomocí (2) plyne $\exp(-1)\le \exp(\ln x)\le \exp(1)$ , takže dle (1) rovněž

$\exp(-1)\le x\le \exp(1)$ .

Ve finale pak použijeme známý vztah $\exp (r) = \mahrm{e}^r$ .