Matematické Fórum

Sajmon9114 · 08. 10. 2012 11:09

Ahoj, potřeboval bych poradit s následujícím příkladem, myslím, že jej počítám správným způsobem, ale stále mi nevychází ten "správný" výsledek, takže asi dělám někde chybu. Nuže:
$2\sin x+\cos x=1$
Na jedné straně jsem nechal $\cos x$ , celou rovnici upravil a nahradil $\cos ^2x$ za $1-\sin ^2x$ .
Zbylo mi toto:
$5\sin ^2x-4\sin x=0$ . No a z tohoto mi vychází jeden kořen jako $x=k\pi$ , další $x=arc\sin \frac{4}{5}+2k\pi$ a poslední $x=\pi -arc\sin \frac{4}{5}+2k\pi$ . Dle správných výsledků je ale u prvního kořene perioda dvojnásobná, tedy $2k\pi$ , a jako druhý kořen je uveden pouze $\pi -arc\sin \frac{4}{5}+2k\pi$ . Děkuji za případné rady.

Cheop · 08. 10. 2012 11:31 — Editoval Cheop (08. 10. 2012 11:32)

↑ Sajmon9114:

Protože jsi rovnici umocňoval, což je neekvivalentní úprava, musíš provést
zkoušku.
Pokud ji provedeš potom vyhovují kořeny:
$x_1=2k\pi\\x_2=180-\arcsin\left(\frac 45\right)+2k\pi$

Sajmon9114 · 08. 10. 2012 11:41

Aha, dobře, to mě nějak nenapadlo... Tak díky :)

jelena · 08. 10. 2012 12:30

Zdravím v tématu, tato rovnice se o něco pohodlněji lepe řeší převodem na poloviční úhel (nejsou neekvivalentní úpravy):

$2\sin x+\cos x=1$
$4\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\cos^2 \frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}$

Matematické Fórum

#1 08. 10. 2012 11:09

Goniometrická rovnice

#2 08. 10. 2012 11:31 — Editoval Cheop (08. 10. 2012 11:32)

Re: Goniometrická rovnice

#3 08. 10. 2012 11:41

Re: Goniometrická rovnice

#4 08. 10. 2012 12:30

Re: Goniometrická rovnice

Zápatí