Matematické Fórum

Dokažte: ∀(n∈ℕ): 3∣ n2 + 1 ⇒ 6∤n.

Nejprve zkonstruujeme obměněnou implikaci (kvantifikátor se nemění): ∀(n∈ℕ): 6∣n ⇒ 6∤n2 + 1. Tuto větu chci dokázat přímým důkazem.

Musím tedy vyjít z předpokladu, že n je dělitelné šesti. Můžu  psát n = 6k, kde k je nějaké přirozené číslo. Dosadím (6k) za n do výrazu (n2 + 1) a pokusme se prokázat, že tak získáme číslo, které není dělitelné šesti:

n2 + 1 = (6k)2 + 1 = 36k2 + 1 = 6(6k2) + 1

Lze říci, že existuje přirozené číslo r takové, že 6k2 = r. Pak lze psát n2 + 1 = 6r + 1. Je zřejmé, že číslo (6r + 1) není dělitelné šesti, tedy i  číslo (n2 + 1) není dělitelné šesti. Tím jsme dokázali obměněnou implikaci a díky ní i původní větu.

Nejsem si jistá, zda jsem neudělal chybu hned v počátečním určetní věty, díky absenci závorky, můžete prosím poradit? Existuje i jiná možnost, z knih jsem nic lepšího nevyčetla.

Moc díky.