Matematické Fórum

loxir · 10. 10. 2012 18:13

Dobrý den, potřebovala bych pomoci s tímto příkladem. Vůbec si s ním nevím rady.

$(5\sqrt{3}- 5i)^{7}$

Řešení:
$-5\cdot 10^{6}\cdot \sqrt{3}+5\cdot 10^{6}i$

marnes · 10. 10. 2012 18:25

↑ loxir:
1) převeď na goniometrický tvar
2) pomocí Moivreovy věty uprav
3) zpět převeď na algebraický tvar

ChMcL · 11. 10. 2012 14:23 — Editoval ChMcL (11. 10. 2012 14:24)

Nejprve číslo $(5\sqrt{3}- 5i)^{7}$ převedeme na goniometrický tvar, poněvadž se nám v něm bude počítat mnohem lépe!

$(5\sqrt{3}- 5i)^{7}$

$|r|=\sqrt{(5\sqrt{3})^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{25*3+25}=\sqrt{100}=10$

$\cos \varphi =\frac{a}{r}=\frac{5\sqrt{3}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \varphi =\frac{b}{r}=\frac{-5}{10}=-\frac{1}{2}$

Podle známenek můžeme soudit, že se jedná o IV. KVADRANT, takže ...

$(5\sqrt{3}- 5i)^{7}=[10(\cos \frac{11}{6}\pi +i\sin \frac{11}{6}\pi ]^{7}$

Využijeme větu pro mocninu komplexního čísla ...

$10^{7}[\cos(7*\frac{11}{6}\pi) +i\sin (7* \frac{11}{6}\pi)]$

$10^{7}(\cos\frac{77}{6}\pi +i\sin \frac{77}{6}\pi)$

$\frac{77}{6}\pi :2\pi =\frac{77}{6}\pi *\frac{1}{2\pi }=\frac{77}{12} \Rightarrow \frac{5}{6}\pi +6*2\pi$

$10^{7}(\cos\frac{5}{6}\pi +i\sin \frac{5}{6}\pi)$

$10^{7}(-\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2})$

$-5\cdot 10^{6}\cdot \sqrt{3}+5\cdot 10^{6}i$

Stačí to tak, pochopila jsi? :-)

Matematické Fórum

#1 10. 10. 2012 18:13

Komplexní čísla- umocňování

#2 10. 10. 2012 18:25

Re: Komplexní čísla- umocňování

#3 11. 10. 2012 14:23 — Editoval ChMcL (11. 10. 2012 14:24)

Re: Komplexní čísla- umocňování

Zápatí