Matematické Fórum

makr · 25. 09. 2012 19:25 — Editoval makr (25. 09. 2012 19:36)

Zdravím,
nemohl by mi někdo vysvětlit dva příklady, konkrétně, co se tam dělá a hlavně proč?

1. Na množině $X= \{1,2,3,4,5,6,7\}$ je dána relace $R = \{(x, y)| x,y \in X, 3 \text{ dělí } x-y\}$ . Zapiště relaci $R$ výčtem prvků. Určete její definiční obor a obor hodnot. Nalezněte relaci $R^{-1}$ .
* Zde nevím, jak z množiny X udělat množinu Y, abych mohla dále počítat

2. Nechť $f(x)=\sin x,g(x)= \ln x, h(x) = 2x$ . Stanovte $Dom (g\circ f \circ h)$ a $Im(g\circ f \circ h)$ . Určete $(g\circ f \circ h)(\pi /4)$ .
* Zde si nevím rady vůbec

Předem děkuji za odpověď.

Geronimo

Plati $(g \circ f \circ h)(x) = g(f(h(x)))$ , takze v tvem pripadu to muzeme prepsat: $\ln(\sin2x)$

a z teto funkce potrebujes zjistit definicni obor (to je to $Dom (g\circ f \circ h)$ ). Problem by ti mohl delat logaritmus, proto je potreba zjistit, pro ktere argumenty je sinus nekladny.

$Im(g\circ f \circ h)$ je obor hodnot, tedy mnozina vsech pripustnych vysledku tve funkce. Tu nejlepe zjistis z grafu nebo si muzes uvedomit, jake hodnoty nabyva sinus a jak tyto hodnoty "pretransformuje" logaritmus.

Posledni podukol je potom lehky, protoze $(g\circ f \circ h)(\pi /4) = \ln(\sin2(\pi /4))$ .

chipák · 25. 09. 2012 21:41

↑ makr:

K té jedničce:

žádnou množinu Y hledat nemusíš, relace $R$ je podmnožina $X \times X$ . Tzn. hledáš dvojice prvků ze zadané množiny $X$ takové, že platí $3 \text{ dělí } x-y$ . Taková dvojice je například $(7,4)$ . Pokud pochopíš princip, najít všechny není problém. Definiční obor je množina všech prvků, které stojí na prvním místě. Obor hodnot je množina všech prkvů, které jsou na druhém místě. $R^{-1}$ zkonstruuješ tak, že prohodíš pořadí (opět budeš mít množinu dvojic).

makr · 26. 09. 2012 18:06

Děkuji za rady.

Jestli tu jedničku správně chápu, tak $\text{R}$ bude $\{(7,4),(6,3),(5,2), (4,1)\}$ , takže $\text{Dom R }= \{7,6,5,4\}$ a $\text{Im R }=\{4,3,2,1\}$ a $R^{-1}=\{(4,7),(3,6), (2,5), (1,4)\}$ ?

U té dvojky se stále nechytám, nemohl bys mě ještě trochu nakopnout?

vanok · 26. 09. 2012 18:24

Mala otazka :Co mozes povedat o tomto vyroku $3 \text{ dělí } x-y$ => $3 \text{ dělí } y-x$

makr · 26. 09. 2012 18:49

↑ vanok:
Rozdíl mezi x-y podělený 3 => rozdíl mezi y-x podělený 3? Jaký to má význam, když mám určenou jen množinu X, takže tam není, které číslo zastupuje x a y?
Nějak jinak to vysvětlit nevím, ani nevím, jestli je to vůbec dobře..

vanok · 26. 09. 2012 19:01

Ahoj,
Cize delidelnost je je platna aj ked rozdiel je negativny ( delitelny 3my), a podobne pre nulu ( inac by bolo upresnene, ze relacia delitelnosti nie je klasicka delitelnost).

makr · 26. 09. 2012 19:23

↑ vanok:
ahoj,
mně se zdálo, že jich je jinak strašně moc, tak to by v tom případě bylo: $\{(1,1),(1,4),(2,2),(2,5),(3,3),(3,6),(4,1),(4,4),(4,7),(5,2),(5,5),(6,3),(6,6),(7,1),(7,4),(7,7)\}$ , v případě, že jsem nějaký nezapomněla, a Dom i Im R = $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ ?

Geronimo · 26. 09. 2012 19:36

Zapomnela jsi na $(1,7)$

makr · 26. 09. 2012 19:43

↑ Geronimo:
Jojo, máš pravdu, díky =)
Můžu se tě zeptat tedy ještě na ten 2. příklad? Nedovedl bys mi to ještě víc zjednodušit? Ne a ne mě něco trknout.

vanok · 26. 09. 2012 19:47

(7,7) chyba tiez.

makr · 26. 09. 2012 19:52

↑ vanok:
Tím myslíš, že je to chyba? Protože (7,7) uvedeny mám.

vanok · 26. 09. 2012 20:58

Ok, ale sa to nevidi, no ale najdolezitejsie je ze si tam dal.

Geronimo

Mas zadanou rovnici $y=\ln(\sin2x)$ .
Otazka je jake vsechny $x$ muzes do tohoto vztahu dosadit?

Vezmeme to pekne poporade. Nejvnitrnejsi funkce $2x$ ti neklade zadny problem, protoze je definovana na celem $\mathbb{R}$ .
Dalsi funkci je funkce $\sin x$ . Z hodin matematiky by sis mela pamatovat, ze funkce sinus je take definovana na celem $\mathbb{R}$ .
Zbyva nam posledni funkce a tou je logaritmus. Jiste si pamatujes, jak vypada graf $\ln x$ . Funkce logaritmus neni definovana pro $x \leq 0$ , proto musime z definicniho oboru odstranit vsechny takoveto $x$ .
Tim se vracime zpatky k funkci sinus. Jak jiste vis, osciluje mezi hodnotami 1 a -1. Takze zde by nam mohl vzniknout problem. Je treba tedy zjistit, ve kterych argumentech $\sin 2x$ nabyva zapornych hodnot. Dale napovim, ze tato funkce ma periodu $\pi$ , na kterou bychom nemeli pri sestavovani definicniho oboru zapominat.

Nemel by to byt zas takovy problem.

Ted k oboru hodnot.

Funkce $2x$ ti vraci jako vystup zase vsechny realna cisla. Potom prijde funkce sinus a prezvyka to na interval $\langle -1,1 \rangle$ . Ty jiz mas vsak urceny definicni obor, takze na tomto definicnim oboru ti vraci funkce $\sin 2x$ funkcni hodnoty na intervalu $(0,1 \rangle$ . Ted se zamyslis, podivas se znovu na graf funkce $\ln x$ a podivas se, jak se zobrazi interval $(0,1 \rangle$ pomoci tohoto logaritmu. Mohlo by ti pomoct, ze logaritmus je monotonni funkce a urcit si hodnoty logaritmu v krajnich bodech daneho intervalu (v nule limitu).

student007 · 07. 10. 2012 15:55

Pokud tedy všemu rozuám správně tak obor hodnot bude Im=<0;1) ano? Ještě bych se rád zeptat jak zapsat interval pro definiční obor, vím že to budou hodnoty kdy je sinus kladný, ale nevím jak to zapsat v intervalu. Mohl by někdo pomoct?

Geronimo · 07. 10. 2012 19:10

Ne, obor hodnot neni urcen spravne. Vypocitej si $\lim_{k \rightarrow 0^+} \ln k$ a $\ln 1$ . To budou krajni body hledaneho oboru hodnot.

student007 · 10. 10. 2012 12:45

Definiční obor mi vyšel Dom= $(\frac{\pi }{2}+3k\Pi )$ a Obor hodnot:(- $\infty$ ;0)
už je to správně? Jak mám potom určit $(g\circ f \circ h)(\pi /4)$

Geronimo · 10. 10. 2012 23:05

Ne, stale to neni dobre. Definicni obor mam chapat jako body tvaru $(\frac{\pi}{2}+3k\pi )$ ?

Obor hodnot obsahuje i nulu.

To slozene zobrazeni je vysvetlene (prepsane) vyse.

Matematické Fórum

#1 25. 09. 2012 19:25 — Editoval makr (25. 09. 2012 19:36)

Diskrétní matematika - binární relace

#2 25. 09. 2012 19:56 — Editoval Geronimo (25. 09. 2012 19:57)

Re: Diskrétní matematika - binární relace

#3 25. 09. 2012 21:41

Re: Diskrétní matematika - binární relace

#4 26. 09. 2012 18:06

Re: Diskrétní matematika - binární relace

#5 26. 09. 2012 18:24

Re: Diskrétní matematika - binární relace

#6 26. 09. 2012 18:49

Re: Diskrétní matematika - binární relace

#7 26. 09. 2012 19:01

Re: Diskrétní matematika - binární relace

#8 26. 09. 2012 19:23

Re: Diskrétní matematika - binární relace

#9 26. 09. 2012 19:36

Re: Diskrétní matematika - binární relace

#10 26. 09. 2012 19:43

Re: Diskrétní matematika - binární relace

#11 26. 09. 2012 19:47

Re: Diskrétní matematika - binární relace

#12 26. 09. 2012 19:52

Re: Diskrétní matematika - binární relace

#13 26. 09. 2012 20:58

Re: Diskrétní matematika - binární relace

#14 26. 09. 2012 21:34 — Editoval Geronimo (26. 09. 2012 21:42)

Re: Diskrétní matematika - binární relace

#15 07. 10. 2012 15:55

Re: Diskrétní matematika - binární relace

#16 07. 10. 2012 19:10

Re: Diskrétní matematika - binární relace

#17 10. 10. 2012 12:45

Re: Diskrétní matematika - binární relace

#18 10. 10. 2012 23:05

Re: Diskrétní matematika - binární relace

Zápatí