Matematické Fórum

paulxxx · 22. 11. 2008 13:56

Urcte asymptoty grafu funkcie f a) so smernicou b) bez smernice , ak existuju.....

$f:y=\frac{\sqrt{x^2-x-6 }}{(x-2)(x-4)}$

ak to niekto viete napiste mi prosim aj postup lebo ja tomu nejak nerozumiem :-(

spravne odpovede: a) y=0 ASS b) x=4 ABS

Pavel · 23. 11. 2008 15:18

↑ paulxxx:

ad a) asymptoty se směrnicí se počítají v $+\infty$ nebo v $-\infty$ , podle toho, jak definiční obor "dovolí". Jsou to obecně přímky o rovnici $y=kx+q$ , kde

$k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}\,,\qquad q=\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-kx)$

Nejdříve určíme definiční obor: $D(f)=(-\infty,-2\rangle\cup\langle 3,4)\cup(4,\infty)$

Pak spočítáme směrnici k asymptoty v $\infty$

$k=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{\sqrt{x^2-x-6 }}{(x-2)(x-4)}}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1-\frac 1x-\frac 6{x^2} }}{(x-2)(x-4)}=0$ .

Dále určíme absolutní člen q téže asymptoty

$q=\lim_{x\to\infty}(\frac{\sqrt{x^2-x-6 }}{(x-2)(x-4)}-0x)=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1-\frac 1x-\frac 6{x^2} }}{(1-\frac 2x)(x-4)}=0$ .

Protože obě limity existují a jsou vlastní, existuje asymptota se směrnicí v $\infty$ a tato je určena rovnicí $y=0x+0=0$ .

Asymptota v $-\infty$ se určuje obdobně.

ad b) asymptoty bez směrnice se určují v těch číslech $a\in\mathbb R$ , kde

$\lim_{x\to a^+}f(x)=\infty\qquad\text{nebo}\qquad\lim_{x\to a^+}f(x)=-\infty\qquad\text{nebo}\qquad\lim_{x\to a^-}f(x)=\infty\qquad\text{nebo}\qquad\lim_{x\to a^-}f(x)=-\infty.$

V našem případě platí, že

$\lim_{x\to 4^+}\frac{\sqrt{x^2-x-6 }}{(x-2)(x-4)}=\infty\qquad\text{a}\qquad\lim_{x\to 4^-}\frac{\sqrt{x^2-x-6 }}{(x-2)(x-4)}=-\infty$

Funkce f(x) má v bodě x=4 asymptotu bez směrnice (x=4).

Matematické Fórum

#1 22. 11. 2008 13:56

asymptoty grafu funkcie

#2 23. 11. 2008 15:18

Re: asymptoty grafu funkcie

Zápatí