Matematické Fórum

Kouří se mi v hlavě · 08. 10. 2012 19:43

Ahoj,

mohli byste mi prosím pomoci s tímto:

Zadání:
Najděte na maximálních možných intervalech inverzní funkci k funkci: $f(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}$

1) Nejprve si tedy určím intervaly, na kterých je funkce ryze monotónní? /rozumím správně zadání?/
2) Přehodím x,y; tak určím inverzní funkci; zlogaritmuji? (mohla bych poprosit o postup?)

Na googlu jsem se dočetla, že se výše uvedená funkce rovná: $y = sinh x$
- to nevím, jak upravit (neprobírali jsme to), lze to nějakým způsobem, abychom nemuseli logaritmovat?

...kdybyste věděli o nějaké dobré literatuře, skriptech, které se tomuto tématu věnují, budu ráda za tipy... díky.

kaja.marik

$x=\frac{e^y-e^{-y}}2$ , potom substituci $e^y=t$ a vede to na kvadratickou rovnici pro $t$ . Ta se vyresi a potom najdete $y$ .

Vyjde neco s logaritmem, co ma nazev arsinh a vzorec je mozno najit na http://cs.wikipedia.org/wiki/Hyperbolom … %A1_funkce

Kouří se mi v hlavě · 08. 10. 2012 22:17

↑ kaja.marik:

- vyšlo mi:
1) $s:\mathrm{e}^{y}=t$
2) $x = \frac{t-t^{-1}}{2}$
3) ... $t^{2}-2xt-1=0$
4) $D=4(x^{2}+1)$
5) $t_{1,2}= \frac{2x\pm \sqrt{4(x^{2}+1)}}{2}=x\pm \sqrt{x^{2}+1}$

- dosadím zpět do substituce: $\mathrm{e}^{y}=x\pm \sqrt{x^{2}+1}$
- zlogaritmuji: $\log_{}\mathrm{e}^{y}=\log_{}(x\pm \sqrt{x^{2}+1})$
- upravím a dostávám:
$y=\frac{\log_{}(x\pm \sqrt{x^{2}+1})}{\log_{}e}$

???

Stýv · 08. 10. 2012 23:26

↑ Kouří se mi v hlavě:
1) $x-\sqrt{x^{2}+1}$ je záporné, to by se logaritmovalo blbě
2) zapomeň na dekadickej logaritmus, ten se učí děti na střední škole. v matematice se používá přirozenej logaritmus

Kouří se mi v hlavě · 08. 10. 2012 23:45

↑ Stýv:

ad 1) dobře, tak jen kladná část (?)
ad 2) možná časem, až budu mít dost důvodů

To je tedy ten výsledek?
. je nějaký dlouhý...

Honzc · 09. 10. 2012 08:11 — Editoval Honzc (09. 10. 2012 08:41)

↑ Kouří se mi v hlavě:
K 2)
Při použití přirozeného logaritmu (jak navrhuje ↑ Stýv:) by se ti totiž ten výsledek zkrátil na $y=\ln \left(x+ \sqrt{x^{2}+1}\right)$

kaja.marik

Tj. vlastne na $y=\ln \left(x + \sqrt{x^{2}+1}\right)$ (jenom varianta s plusem). Pokud pouzijeme definici funkce argsinh, tak to bude jeste kratsi: y=argsinh(x) :)

Logaritmy o ruznych zakladech se vlastne lisi jenom konstantnim nasobkem: $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$ tak je asi nejlepsi pouzivat ten, co se nejlip derivuje a integruje

Kouří se mi v hlavě · 11. 10. 2012 20:12

↑ Honzc:↑ kaja.marik:

Děkuji! :)

Matematické Fórum

#1 08. 10. 2012 19:43

Inverzní funkce: sinh x ?

#2 08. 10. 2012 19:57 — Editoval kaja.marik (08. 10. 2012 19:59)

Re: Inverzní funkce: sinh x ?

#3 08. 10. 2012 22:17

Re: Inverzní funkce: sinh x ?

#4 08. 10. 2012 23:26

Re: Inverzní funkce: sinh x ?

#5 08. 10. 2012 23:45

Re: Inverzní funkce: sinh x ?

#6 09. 10. 2012 08:11 — Editoval Honzc (09. 10. 2012 08:41)

Re: Inverzní funkce: sinh x ?

#7 09. 10. 2012 08:17 — Editoval kaja.marik (09. 10. 2012 08:18)

Re: Inverzní funkce: sinh x ?

#8 11. 10. 2012 20:12

Re: Inverzní funkce: sinh x ?

Zápatí