Matematické Fórum

PanTau · 12. 10. 2012 11:39

Ahoj,

potřeboval bych poradit jak nehledání kořenů polynomů.

$p(x) = x^{4}-5x^{3}-22x^{2}+56x$

Vím že mám použít hornerovo schéma (vím jak se s tím počítá), ale má otázka ZNÍ:

Jaká čísla mám do hornerova schéma dosadit? Jak dlouho dosazovat? A kdy poznám že mám již všechny kořeny?

Děkuji hodným :-)

kaja.marik · 12. 10. 2012 12:09

$p(x)/x=q(x) = x^{3}-5x^{2}-22x^{1}+56$

dosazoval bych delitele cisla 56 tak dlouho, dokud nebudu mit tri anebo dokud nevyzkousim vsechny. Na konci poznam, jestil mam tri koreny nebo ne a jestli tim padem mam hledat mimo cela cisla.

PanTau · 12. 10. 2012 12:25

↑ kaja.marik:

Proč zrovna 3? Protože je 3.tího stupně?

Morphid · 12. 10. 2012 12:29

Nu, první krok je jednoduchý, hlavně nesmíš zapomenout, že do hornerova schématu dosadíš tohle: $1..-5..-22..56..0$

z toho je očividné, že $x_1=0$ .. nyní pokračuje s polynomem $p(x)=x^3-5x^2-22x+56$

je od oka zřejmé, že kdybys dosadil 1 nebo -1 nebude výsledek nulový, čili zkus například 2, protože číslo 56 je dělitelné dvěma.. pomocí hornerova schématu získáš zbytek 0, kořen $x_2=2$ a další polynom (nyní kvadratický): $p(x)=x^2-3x-28$ , který vyřešíš přes vzorec $x_{3,4}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ , ze kterého získáš další 2 kořeny.

výsledky:
$x_1=0,x_2=2,x_3=7,x_4=-4$

PanTau · 12. 10. 2012 12:54 — Editoval PanTau (12. 10. 2012 13:00)

Proč mám dosazovat nulu na konci?
- snad jen $1..-5..-22..56$

Nevím zdali ses nepřekoukl, nebo je to tak správně, ale zadání je ( $56x$ ):

$p(x) = x^{4}-5x^{3}-22x^{2}+56x$

Né:

$p(x)=x^3-5x^2-22x+56$

Morphid · 12. 10. 2012 13:09

Jasný, ale celý polynom je: $p(x)=x^4-5x^3-22x^2+56x+0$ ;).. tím získáš $x_1=0$ a polynom o stupeň menší: $p(x)=x^3-5x^2-22x+56$

Cheop · 12. 10. 2012 13:10

↑ PanTau:
To už kolega ↑ Morphid: zkrátil x

PanTau · 12. 10. 2012 13:14

Děkuji za rady, jen bych měl ještě dotaz, jak jsi došel ke kvadratickému polynomu? $p(x)=x^2-3x-28$

Děkuji,

Morphid

Z Hornerově schématu ti zbyde tohle: $1..-3..-28$ což je polynom $p(x)=x^2-3-28$ ;)

PanTau · 12. 10. 2012 13:29

↑ Morphid:

Děkuji za radu, ještě bych měl jednoduchý dotaz.

Mohu se tedy řídit tim že polynom stupně x má x kořenů? (např tenhle, má $x^{4}$ = 4kořeny)
Nebo jsou výjimky?

Jinak děkuji za rady!:)

Morphid · 12. 10. 2012 13:31

Ano, polynom stupně n má n kořenů ;), buď reálné, nebo imaginární ;)

PanTau · 12. 10. 2012 13:32

↑ Morphid:

Ještě jednou děkuji, nyní se můžu pustit do domácích úloh :)) hihi

Morphid · 12. 10. 2012 13:37

Není zač :)

PanTau · 12. 10. 2012 13:49

↑ Morphid:

Ještě bych měl (snad) už poslední dotaz -

Pokud dosazuji do hornerova schéma... např 1..

Jak je to stím že dále můžu počítat s hodnotama ve 3 řádku? Protože jestli pak počítám.

Tak mi podle výpočtů vyjde že 2 taky není kořenem. Jak je to tedy s opisováním hodnot?

Např. můžu opisovat hodnoty pouze když vyjde 0(kořen) - jinak musím začít od znova (TJ- 1,-5,-22,56,0)

Morphid · 12. 10. 2012 13:57

kaja.marik napsal(a):
$p(x)/x=q(x) = x^{3}-5x^{2}-22x^{1}+56$

dosazoval bych delitele cisla 56 tak dlouho, dokud nebudu mit tri anebo dokud nevyzkousim vsechny. Na konci poznam, jestil mam tri koreny nebo ne a jestli tim padem mam hledat mimo cela cisla.

tím získáš první kořen $x_1=0$ , to nemusíš počítat přes Hornerovo schéma... pro polynom $q(x) = x^{3}-5x^{2}-22x^{1}+56$ už jo.. pokud zkoušíš jedničku a nevyjde ti zbytek 0, pak zkoušíš jiné číslo, ale musíš stále používat koeficienty polynomu q(x).. čili 1 -5 -22 56 ;)

PanTau · 12. 10. 2012 14:13

↑ Morphid:
A když mi vyjde zbytek 0, můžu pokračovat tím co vyšlo? Nebo musím opět použít základní koeficienty q(x).. čili 1 -5 -22 56? - nebo to je jedno?

(tady to asi není třeba, ale kdyby byl složitější příklad.)

Morphid · 12. 10. 2012 14:52

Ne, musíš pokračovat s tím, co vyšlo :)

PanTau · 12. 10. 2012 14:56

↑ Morphid:

Děkuji za radu.

Nyní jsem cvičně zkoušel příklad:

$p(x) = x^{5} + 5x^{4} - 5x^{3} - 45x^{2} + 108$

Vyzkoušel jsem čísla 1,-1, 2,-2, 3,-3, 4,-4 dokonce i $\frac{1}{2}$ , nicméně žádný z nich není kořen, Jak bych měl dále postupovat? Přeci nemůžu u jednoho příkladu vypisovat všechna čísla?

Cheop · 12. 10. 2012 15:04

↑ PanTau:
Nevím jak jsi to zkoušel, ale 2 a (-3) jsou kořeny uvedeného polynomu

kaja.marik · 12. 10. 2012 15:04

jak presne to dosazujete? Dvojka by mela byt koren. dokonce vyssi nasobnosti.

PanTau · 12. 10. 2012 15:10

↑ Cheop:
↑ kaja.marik:

kaja.marik · 12. 10. 2012 15:47

mezi -45 a 108 je jeste 0

PanTau · 12. 10. 2012 15:51

↑ kaja.marik:

No jo, já jsem ale trouba, 0 je tam z důvodu $x^{1}$ .

Tím je vše vyřešené.

Omlouvám se, asi toho mám dneska dost,

Ještě jednou děkuji všem co se ůčastnili pomoci s tímto vláknem :-)

Matematické Fórum

#1 12. 10. 2012 11:39

Urči všechny kořeny polynomů

#2 12. 10. 2012 12:09

Re: Urči všechny kořeny polynomů

#3 12. 10. 2012 12:25

Re: Urči všechny kořeny polynomů

#4 12. 10. 2012 12:29

Re: Urči všechny kořeny polynomů

#5 12. 10. 2012 12:54 — Editoval PanTau (12. 10. 2012 13:00)

Re: Urči všechny kořeny polynomů

#6 12. 10. 2012 13:09

Re: Urči všechny kořeny polynomů

#7 12. 10. 2012 13:10

Re: Urči všechny kořeny polynomů

#8 12. 10. 2012 13:14

Re: Urči všechny kořeny polynomů

#9 12. 10. 2012 13:21 — Editoval Morphid (12. 10. 2012 13:24)

Re: Urči všechny kořeny polynomů

#10 12. 10. 2012 13:29

Re: Urči všechny kořeny polynomů

#11 12. 10. 2012 13:31

Re: Urči všechny kořeny polynomů

#12 12. 10. 2012 13:32

Re: Urči všechny kořeny polynomů

#13 12. 10. 2012 13:37

Re: Urči všechny kořeny polynomů

#14 12. 10. 2012 13:49

Re: Urči všechny kořeny polynomů

#15 12. 10. 2012 13:57

Re: Urči všechny kořeny polynomů

kaja.marik napsal(a):

#16 12. 10. 2012 14:13

Re: Urči všechny kořeny polynomů

#17 12. 10. 2012 14:52

Re: Urči všechny kořeny polynomů

#18 12. 10. 2012 14:56

Re: Urči všechny kořeny polynomů

#19 12. 10. 2012 15:04

Re: Urči všechny kořeny polynomů

#20 12. 10. 2012 15:04

Re: Urči všechny kořeny polynomů

#21 12. 10. 2012 15:10

Re: Urči všechny kořeny polynomů

#22 12. 10. 2012 15:47

Re: Urči všechny kořeny polynomů

#23 12. 10. 2012 15:51

Re: Urči všechny kořeny polynomů

Zápatí