Matematické Fórum

Morphid · 12. 10. 2012 18:41

Ahoj,

potřeboval bych poradit, resp. vysvětlit pár kroků v následujícím příkladu.

Úkol zní: Pomocí definice limity posloupnosti ukažte, že $\lim_{n\to+\infty }\frac{1}{n+4}=0$

Můj postup:
1) Definice limity posloupnosti $\lim a_n=a \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \exists n_0\in\mathbb{N}\forall n\in \mathbb{N}:n>n_0\Rightarrow |a_n-a|<\varepsilon$

2) Pro můj případ: $\lim \frac{1}{n+4}=0 \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \exists n_0\in\mathbb{N}\forall n\in \mathbb{N}:n>n_0\Rightarrow |\frac{1}{n+4}-0|<\varepsilon$

3) Dále řeším...
$|\frac{1}{n+4}-0|<\varepsilon$ $\frac{1}{n+4}<\varepsilon$ $1<\varepsilon (n+4)$ $\frac{1}{\varepsilon }< n+4$ $\frac{1}{\varepsilon }-4< n$

z toho: $n_0=[\frac{1}{\varepsilon }-4]+1$

Ale moc dobře nerozumím, jak přijít k přesnému výsledku: $n_0=max\{[\frac{1}{\varepsilon }-4]+1,1\}$

Našel by se zde někdo, kdo by mi to vyjasnil? :) Předem moc děkuji :)

Stýv · 12. 10. 2012 18:49

kolik by podle tvýho vzorce vyšlo $n_0$ třeba pro $\varepsilon=1$ ?

Morphid · 12. 10. 2012 19:12

Nu.. -2?..

Stýv · 12. 10. 2012 20:52

a je -2 přirozený číslo?

Morphid · 12. 10. 2012 21:04

Není :D v tom případě ale když dosadím jakékoli číslo, budu mít to $n_0$ záporné, ne?

Stýv · 12. 10. 2012 21:24

když dosadíš dost malý číslo, tak ne

Morphid · 12. 10. 2012 21:33

Aha.. takže to musím omezit, aby výsledný prvek bylo kladné číslo..?

$\varepsilon =0,05$
$n_0=[\frac{1}{0,05}-4]+1=17$

Stýv · 12. 10. 2012 23:24

jo

Morphid · 13. 10. 2012 00:44

V tom případě stále moc dobře nerozumím, jak zjistit, kdy je výsledek $n_0=[...]+1$ a kdy $n_0=max\{[...]+1, 1\}$ ...

user · 13. 10. 2012 11:02

$n_0$ nesmí být záporné, takže ve chvíli kdy by člen $\lfloor \cdots\rfloor$ byl záporný, tak vybereš maximum z toho výrazu a nějakého kladného čísla. Alternativně je možné k $\lfloor \cdots\rfloor$ přičíst dostatečně velké číslo, aby byl tento výraz vždy kladný.

Morphid · 13. 10. 2012 11:19

Ahaa, už to snad chápu :) děkuji za objasnění a pomoc ↑ Stýv: a ↑ user:

Morphid · 13. 10. 2012 16:16

Ještě bych měl jeden dotaz... mám nevlastní limitu $\lim_{n\to+\infty}2^n=+\infty$ a pomocí definice mám opět ukázat, že to platí:

Definice pro tento případ: $\lim2^n=+\infty \Leftrightarrow \forall K\in \mathbb{R}\exists n_0\in \mathbb{N}\forall n\in \mathbb{N}:n>n_0\Rightarrow 2^n>K$

dopracoval jsem se k výsledku: $n_0=[\frac{lnK}{ln2}]+1$ , ale jestli jsem to dobře pochopil, tento výsledek není úplný, neboť za K nemohu dosadit záporné číslo (logaritmus by pak neměl řešení)... bude proto výsledné řešení takovéto... chápu to správně?

$n_0=max\{[\frac{lnK}{ln2}]+1,1\}$

Stýv · 13. 10. 2012 17:33

↑ Morphid: to maximum ti pomůže v případě, že by ln(K) bylo záporný. ale na tom, že může bejt záporný i K a pak neexistuje ln(K), to nic nezmění. k tomu můžeš třeba nahradit ln(K) výrazem ln(|K|+1) (ono by to šlo nahradit třeba i prostým K, ale tam už není tak samozřejmý, že K>ln(K))

Morphid · 13. 10. 2012 17:43

Takže pro výsledek $n_0=[K^2-4]+1$ použiju opět $n_0=max\{[K^2-4]+1, 1\}$ , aby nenastala situace, že by to $n_0$ bylo záporné, protože by to pak porušovalo podmínku, že je v přirozených číslech..? :)

user · 13. 10. 2012 17:52

Záleží jak to u vás je vyžadováno, ale myslím, že pro dokazování limity $+\infty$ se stačí omezit pouze na kladná K, stejně jako $\varepsilon$ je taky vždy kladné.

Morphid · 13. 10. 2012 18:40

Dobře, děkuji všem za vysvětlení a za pomoc :)

Matematické Fórum

#1 12. 10. 2012 18:41

Limita posloupnosti podle definice

#2 12. 10. 2012 18:49

Re: Limita posloupnosti podle definice

#3 12. 10. 2012 19:12

Re: Limita posloupnosti podle definice

#4 12. 10. 2012 20:52

Re: Limita posloupnosti podle definice

#5 12. 10. 2012 21:04

Re: Limita posloupnosti podle definice

#6 12. 10. 2012 21:24

Re: Limita posloupnosti podle definice

#7 12. 10. 2012 21:33

Re: Limita posloupnosti podle definice

#8 12. 10. 2012 23:24

Re: Limita posloupnosti podle definice

#9 13. 10. 2012 00:44

Re: Limita posloupnosti podle definice

#10 13. 10. 2012 11:02

Re: Limita posloupnosti podle definice

#11 13. 10. 2012 11:19

Re: Limita posloupnosti podle definice

#12 13. 10. 2012 16:16

Re: Limita posloupnosti podle definice

#13 13. 10. 2012 17:33

Re: Limita posloupnosti podle definice

#14 13. 10. 2012 17:43

Re: Limita posloupnosti podle definice

#15 13. 10. 2012 17:52

Re: Limita posloupnosti podle definice

#16 13. 10. 2012 18:40

Re: Limita posloupnosti podle definice

Zápatí