Matematické Fórum

Sulfan · 13. 10. 2012 22:39

Dobrý den,
řeším následující úlohu. Zjistil jsem, že když budu umocňovat přirozená čísla na třináctou, tak vždy poslední číslice umocněného čísla bude shodná s poslední číslicí mocněného čísla. Chtěl bych se pokusit tuto hypotézu nějakým způsobem dokázat, stačilo by mi pro poslední číslici rovnou devíti.

Věta:
Nechť je $n=10k+9,k\in \mathbb{N}_{0}$ , pak přirozené číslo $n^{13}$ má ve svém zápisu na posledním místě číslo 9.

Důkaz jsem zkoušel indukcí podle k, ale zasekl jsem se v druhém kroku:

První krok pro $k=0$ : $9^{13}=2 541 865 828 329$
Druhý krok:
$(10k+9)^{13}$ má na posledním místě 9, pak má i $(10k+19)^{13}$ na posledním místě 9.

Pomůže mi někdo pokračovat?

Děkuji.

JohnPeca18 · 13. 10. 2012 22:57

A nejde to primo?
$(10k+9)^{13}=\sum_{i=0}^{13}\binom{13}{i}(10k)^i9^{13-i}=10(\sum_{i=1}^{13}\binom{13}{i}10^{i-1}k^i9^{13-i})+9^{13}$
Poslednu cifru ovlyvni jenom $9^{13}$ zvysok je delitelny 10.

Sulfan · 14. 10. 2012 10:45

Jde, díky :)

Matematické Fórum

#1 13. 10. 2012 22:39

Důkaz s poslední cifrou čísla

#2 13. 10. 2012 22:57

Re: Důkaz s poslední cifrou čísla

#3 14. 10. 2012 10:45

Re: Důkaz s poslední cifrou čísla

Zápatí