Matematické Fórum

adelka23 · 14. 10. 2012 14:42

Kvadratická rovnice $cx^{2}+bx+a=0$ má diskriminant? má vyjít $D=b^{2}-4ac$ prosim napiste mi postup

nejsem_tonda · 14. 10. 2012 14:53

Asi nerozumim otazce. "Definice" diskriminantu je
$(\textrm{prostřední koeficient})^2-4\cdot(\textrm{součin krajních koeficientů})$

Je cilem se dozvedet, proc se takto diskriminant zavadi? Nebo toto staci jako odpoved?

PS: "Definice" je v uvozovkach proto, ze spravne bychom prostrednimu koeficientu meli rikat koeficient pred $x$ a krajnim koeficientum bychom meli rikat koeficient pred $x^2$ a absolutni clen. Jenom jsem to nechtel rovnou zahalit do pojmu.

adelka23 · 14. 10. 2012 14:59

↑ nejsem_tonda: ale ja proste nechapu jak na to $D$ příjdeme

Hanis · 14. 10. 2012 15:02

Zamknuta duplicitní témata.

Moderátorské upozornění: začni dodržovat Pravidla, jinak zavřu všechno.

nejsem_tonda · 14. 10. 2012 15:36

↑ adelka23:
No jako to je "velka magie" a spatne se na to odpovida, kdyz nevim, jak jste k tomu ve skole pristupovali.

Kdyz si jako cil urcime najit reseni obecne kvadraticke rovnice $ax^2+bx+c=0$ (kde teda a,b,c jsou dana cisla), tak po chvilce si prizname, ze je to docela obtizny problem. Jde se na to tak, ze si nejdriv rozmyslime, jestli umime resit nejake jednodussi specialni tvary.

Treba $x^2-25=0$ je dobry specialni tvar, to se resi snadno. Jen nezapomenout, ze reseni jsou dve: 5 a -5. Dokonce i obecnejsi tvar $x^2+c$ (kde c je dane cislo) umime uplne stejne vyresit (reseni jsou $\sqrt{-c}$ , $-\sqrt{-c}$ , pokud odmocnujeme cislo vetsi nebo rovne 0).

Co delat v dalsi specialni situaci, kdy se objevi clen s $x$ , napriklad $x^2-4x+4=0$ . To vyzaduje trochu zrucnosti, abychom si vsimli, ze to je totez co $(x-2)^2=0$ . Dulezite pozorovani je, ze se umime upravou na ctverec zbavovat clenu s $x$ . Treba trosku horsi rovnici $x^2-4x-5=0$ bychom resili upravou na ctverec: $(x-2)^2-9=0$ , takze resenim je $x-2=\pm3$ . Pokud uvazujeme obecnejsi rovnici $x^2+bx+c$ (kde b, c jsou dane cisla) prochazime postupne pres tytez upravy:
$\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\frac{b^2}{4}+c=0$
$x+\frac{b}{2}=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}=\pm\frac12\sqrt{b^2-4c}$ (pokud odmocnujeme cislo vetsi nebo rovne 0)

Nakonec zbyva zabojovat s nejobecnejsim tvarem $ax^2+bx+c=0$ (napr. $2x^2-8x-10=0$ ). Po vydeleni cele rovnice ackem se dostaneme do predchozi situace (napr. $x^2-4x-5=0$ ), kterou uz umime resit. Kdyz se vypocet opet udela obecne, prochazime temito kroky
$ax^2+bx+c=0$
$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$
$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0$
$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}=\pm\frac{1}{2a}\sqrt{b^2-4ac}$
No a ted jenom kvuli tomu, abychom si to nemuseli rozmyslet porad znovu a znovu a abychom se mohli nejak zkracene o tomto zpusobu reseni bavit, se domluvime, ze vyrazu pod odmocninou, tj. $b^2-4ac$ , budeme rikat diskriminant. To je duvod, jak na to $D$ prijdeme.

Muze to vypadat slozite, ale jedinou myslenkou je redukovat rovnici na stale jednodussi (specialnejsi) tvary, ktere jsou snazsi resit.