Matematické Fórum

Baby · 14. 10. 2012 12:26

Zdravím,

potrebovali by sme pomôcť s jednou úlohou na rovnomernú konvergenciu postupnosti funkcí. Úlohou je určiť bodovú, rovnomernú a lokálne rovnomernú konvergenciu postupnosti $f_n = \frac{2x}{x+n}$ na intervale $(-1, \infty)$ . Vyšlo nám, že bodovo konverguje k f = 0.
Rovnomernú konvergenciu sme riešili pomocou limity suprema. Derivácia $f_n$ je kladná na celom vyšetrovanom intervale, v $\infty$ sa $f_n(x)$ blíži k 2, takže postupnosť nekonverguje rovnomerne na $(-1, \infty)$ (supremom bude buď 2 alebo hodnota v $x \to -1$ , v závislosti na n).
Pokiaľ vyšetrujeme konvergenciu na intervaloch $[0, k]$ pre k > 0 a $[-1 + \delta, 0]$ pre $\delta > 0$ , v prvom prípade je supremum rovné $\frac{2k}{k+n}$ a v druhom $\frac{2(-1+\delta)}{(-1+\delta)+n}$ , ktoré pre $n \to \infty$ konvergujú k nule, takže $f_n$ konverguje rovnomerne na intervale $[-1 + \delta, k]$ .

Je tento postup korektný?

Brano · 14. 10. 2012 15:01

Ano je to spravne.

Len sa mi zda ze si to jemne komplikujete. Pri konvergenciach sa da vzdy uplne bezpecne zabudnut na prvych konecne vela clenov. Teda vsetky uvahy staci robit pre $n\geq 2$ a potom $x=-1$ nesposobuje ziadny problem. Pri rovnomernej konvergencii, ako nahle mate $f_n(x)\to 2$ pre $x\to\infty$ tak uz netreba nic riesit, lebo automaticky $\sup |f_n(x)|\geq 2$ . Pri lokalnej konvergencii sa s tou poznamkou, ze uvazujeme $n\geq 2$ a rozsirenim definicneho oboru na $[-1,\infty)$ daju uvazovat intervaly $[-1,k]$ a bude to "rychlejsie".

Baby · 14. 10. 2012 15:07

Pravda, to nam nenapadlo :) Tak dakujeme za pomoc.

Matematické Fórum

#1 14. 10. 2012 12:26

Stejnoměrná konvergence posloupnosti fcí

#2 14. 10. 2012 15:01

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti fcí

#3 14. 10. 2012 15:07

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti fcí

Zápatí