Matematické Fórum

Tlustýna · 22. 11. 2008 16:23

Asi vám to přijde směšné, ale mám problémy s 2 příkladama na geometrickou posloupnost.

1. Za jakou dobu uspoříme 90 000 ,- Kč, budeme-li pravidelně každý rok ukládat 2 000 ,- Kč na 2% úrok?

2. Počet obyvatel daného města vzrostl za 12 let ze 756 000 na 948 000 obyvatel. Určete % každoročního přírůstku.

U 1. příkladu vím, že 1. člen posloupnosti je 2 000, kvocient je 0,02 a n-tý člen je 90 000 a jaksi nevím, jak z toho dostat n.

U 2. příkladu mi vyšlo přibližně 8,2 %, ale vycházela mi tam samá hausnumera.

halogan · 22. 11. 2008 16:40

1. Tam je to složitější, protože z toho nemůžeš udělat jednoduchý vzorec, protože každý rok ukládáš.
$(((2000*1.02)+2000)*1.02)+2000)*1.02) ...$

Z toho musíš udělat posloupnost a pak to spočítat. Já na to mám někde daleko v sešitě vzorec, možná ho časem vytáhnu :)

(nepočítám s daní 15 procent, tu si tam kdyžtak dodej)

2. $a = 756 000 \nl b = 948 000 \nl n = 12 \nl a \cdot x^{12} = b \nl 756 000 \cdot x^{12} = 948 000 \nl x^{12} = \frac{948}{756} \nl x = (\frac{948}{756})^{\frac{1}{12}} \nl x \approx 1.019 \nl p = (x - 1) \cdot 100$

Tlustýna · 22. 11. 2008 17:28

↑ halogan: Děkuji mnohokrát.

Chrpa · 22. 11. 2008 21:49 — Editoval Chrpa (23. 11. 2008 14:37)

↑ Tlustýna:
Příklad 1)
Pro součet geometrické posloupnosti (náš případ) platí vztah:
$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ kde, q je kvocient řady, a_1 první člen řady.
V našem případě je:
$a_1=2000\nlq=1,02\nlS_n=90000$ máme tedy vypočítat $n$
Upravíme obecný vzorec respektive vyjádříme z tohoto vzorce předmětné n
$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}\nlS_n(q-1)=a_1\cdot q^n-a_1\nlq^n=\frac{S_n(q-1)+a_1}{a_1}$ tuto rovnici zlogaritmujeme a vyjádříme n
$n\cdot\log\,q=\log\left(\frac{S_n(q-1)+a_1}{a_1}\right)\nln=\frac{\log\left(\frac{S_n(q-1)+a_1}{a_1}\right)}{\log\,q}$ po dosazení za q=1.02, S_n=90000, a_1=2000 dostaneme:
$n=\frac{\log\,1,9}{\log\,1,02}\nln=32,41\,\textrm{let}$

halogan

Tak předkládám svůj vzorec.
i = úrok
d = daň (0.85 => 15 %)
t = počet dní v roce. v tomto případě 360, takže to můžeme vynechat
K_0 = každoroční vklad
n = počet let (resp. period)

$K_n = K_0 \cdot (1 + i\cdot d\cdot \frac{t}{360})\cdot \frac{(1 + i\cdot d\cdot \frac{t}{360})^n - 1}{i\cdot d\cdot \frac{t}{360}}$

Z toho si vypreparuj n :)

Edit: Pro kontrolu - vyjde to zhruba 31.94, tj. 32 let to bude trvat.
Edit 2: Pokud ale budeš počítat s 15% daní, vyjde to trochu jinak, to už si dopočítáš.

Tlustýna · 23. 11. 2008 10:05

Všem vám moc děkuji.

Matematické Fórum

#1 22. 11. 2008 16:23

Geometrická posloupnost

#2 22. 11. 2008 16:40

Re: Geometrická posloupnost

#3 22. 11. 2008 17:28

Re: Geometrická posloupnost

#4 22. 11. 2008 21:49 — Editoval Chrpa (23. 11. 2008 14:37)

Re: Geometrická posloupnost

#5 22. 11. 2008 22:27 — Editoval halogan (22. 11. 2008 22:35)

Re: Geometrická posloupnost

#6 23. 11. 2008 10:05

Re: Geometrická posloupnost

Zápatí