Matematické Fórum

sQ · 14. 10. 2012 22:22

Dobrý den,
potřeboval bych poradit s tímto příkladem zkoušel jsem to ze všech stran a jsem bezradný, ve škole nám matematickou indukci ukazovali ve zkratce a kombinaci suma a nerovnice jsme neměli prošel jsem několik stránek a script a pokoušel jsem se to vypočítat různými způsoby a nepovedlo se stačí když mě navedete a poradíte jak na to.Druhá fotka je pokus o úpravu . Díky za rady
Příklad:
$\sum_{i=1}^{} \frac{1}{i^{2}}\le 2 - \frac{1}{n}$
Pokus:
$2 - \frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^{2}}\le 2-\frac{1}{k+1}$

Blackflower

Neviem, ale mám pocit, že $\sum_{i=1}^{}\frac{1}{i^2}$ je rovné $\frac{\pi^2}{6}$ ...

Brano · 14. 10. 2012 23:20

V prvom rade si treba uzrejmit zadanie.
Predpokladam, ze chces dokazat $s_n=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^{2}}\le 2 - \frac{1}{n}$
Ano je pravda, ze to trivialne vyplyva z rovnosti
$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^{2}}=\frac{\pi^2}{6}$ , ale dokazat tuto rovnost da tiez trochu prace.
Da sa to najst na wiki

Ale povodna uloha sa da zvladnut aj tou indukciou pomerne jednoducho.
$s_1=1\le 2-\frac{1}{1}$
$s_{n+1}=s_n+\frac{1}{(n+1)^2}\le 2-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}$
sem si sa dostal a jedine co treba je dokazat, ze
$\frac{1}{(n+1)^2}-\frac{1}{n}\le -\frac{1}{n+1}$
no a toho sa snad nezlaknes, staci tu nerovnost prenasobit $n(n+1)^2$ upravit a uz to uvidis.

sQ · 15. 10. 2012 01:24

jj uz to vidim diky za radu :-)

sQ · 15. 10. 2012 16:39

jejda nastala mala změna zaslala nám změnu zadání

$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i^{2}}\le 2-\frac{1}{n^{2}}$

dokázat z

$\frac{1}{(n+1)^{2}}- \frac{1}{n^{2}}\le -\frac{1}{(n+1)^{2}}$

po roznásobení
$n^{2}*(n+1)^{2}$ a všech úpravách

vyjde nerovnice

$n^{2}-2n-1\le 0$

což je totální hovadina a nepodporuje důkaz

mám to dobře?

jrn · 15. 10. 2012 16:54

Brano napsal(a):
no a toho sa snad nezlaknes, staci tu nerovnost prenasobit $n(n+1)^2$ upravit a uz to uvidis.

Brano · 15. 10. 2012 20:23

hehe - to je nezbedna komplikacia
mas pravdu, ze keby si chcel dokazat toto tvrdenie priamo presne podla toho predchadzajuceho vzoru tak ti to takto nevyjde.
Ale dokaz najprv povodne tvrdenie a potom si vsimni, ze
$2-\frac{1}{n}\le 2-\frac{1}{n^2}$
to asi chcel ↑ jrn: naznacit.

Matematické Fórum

#1 14. 10. 2012 22:22

matematická indukce

#2 14. 10. 2012 22:48 — Editoval Blackflower (14. 10. 2012 23:06)

Re: matematická indukce

#3 14. 10. 2012 23:20

Re: matematická indukce

#4 15. 10. 2012 01:24

Re: matematická indukce

#5 15. 10. 2012 16:39

Re: matematická indukce

#6 15. 10. 2012 16:54

Re: matematická indukce

Brano napsal(a):

#7 15. 10. 2012 20:23

Re: matematická indukce

Zápatí