Matematické Fórum

sk8er666.cz · 15. 10. 2012 00:14

Zdravím, potřeboval bych pomoci s jednou identitou z teoretické fyziky, což je vlastně tak trochu matematický problém. Dokaž, že platí: $\nabla (\vec{A}\cdot \vec{B})=(\vec{A}\nabla)\vec{B}+(\vec{B}\nabla)\vec{A}+\vec{A}x (\nabla x\vec{B})+\vec{B}x(\nabla x\vec{A})$ . (kde $x$ značí vektorový součin). Počítali jsme pouze i-té složky, takže levá strana byla: $\frac{\partial A_{j}}{\partial x_{i} }B_{j} + \frac{\partial B_{j}}{\partial x_{i} }A_{j}$ . Pravá strana se pomoci Levi-Civitova symbolu upravila celkově na $A_{j}\frac{\partial B_{j}}{\partial x_{i} } - A_{j}\frac{\partial B_{i}}{\partial x_{j} }$ . Jediná věc kterou nechápu je, proč se ty strany rovnají a jak to dokážu (nějaké hrátky s indexy??). Díky za pomoc :)

kaja.marik

Vyrazy $\frac{\partial A_{j}}{\partial x_{i} }B_{j} + \frac{\partial B_{j}}{\partial x_{i} }A_{j}$ a $A_{j}\frac{\partial B_{j}}{\partial x_{i} } - A_{j}\frac{\partial B_{i}}{\partial x_{j} }$ se nerovnaji, staci uvazovat konstantni vektor B a nekonstantni vektor A: pak to jde videt i bez pocitani.

sk8er666.cz · 15. 10. 2012 00:50

jo bylo mi to divný, ale identita platit má, takže je chyba někde v nějakém kroku.. takže sem budu muset dát zřejmě celý postup zdlouhavého výpočtu :) zatim díky

Brano · 15. 10. 2012 01:16

Ked sa pracuje v suradniciach s operatormi, tak si treba dat pozor na poradie aby sa nepomiesalo, ze co posobi na co. A to nieje "iba" i-ta zlozka. Kedze $i\in\{1,2,3\}$ tak je to pre vsetky zlozky.
Lava strana v suradniciach:
$\partial_i(A_jB_j)=A_j\partial_iB_j+B_j\partial_iA_j$

Teraz sa pozrime na vyraz $A\times (\nabla\times B)$ (Nie ze by mi tam vadilo to x ale kedze LaTex sa zide tak vektorovy sucin sa robi \times)
$\epsilon_{ijk}A_j\epsilon_{klm}\partial_lB_m=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})A_j\partial_lB_m=A_j\partial_iB_j-A_j\partial_jB_i$
Prvy clen je taky ako na lavej strane a druhy sa vyskrta s $(A\cdot\nabla)B$ .
Zvysok sa zvladne zamenou $A$ a $B$ .