Matematické Fórum

gisat · 22. 11. 2008 22:27

Ahoj poradil byste někdo jak vyřešit jednu limitu?

zadání příkladu je takovéto:
${\lim}\limits_{x \to \infty}(\sqrt{x}(2 arctg(x)-\pi))$

Pavel Brožek · 22. 11. 2008 22:33

Vhodně upravíš a použiješ l'Hospitalovo pravidlo.

Jakub Pištěk

Limitu bych upravil do tohodle tvaru

a pak bych použil l´Hospitala

x^2 přebije x^(3/2) takže výsledek je 0

Jakub Pištěk · 23. 11. 2008 03:23

Ještě zde na požádání posílám jak by se to mělo vypočítat na písemce někde na vš aby vám to pan profesor uznal jako správný postup je potřeba ukázat že v čitately nebo jmenovately je konstanta a na druhé straně proměnná podle toho se výlsedek rovná nula nebo nekonečno zde je postup:

Pavel Brožek

↑ Jakub Pištěk:

Nejsem si jistý, že by tohle bylo v písemce uznáno:

- Neplatí $x\sqrt x=x^{\frac23}$ , ale $x\sqrt x=x^{\frac32}$ . Vyjde to ale stejně, protože jak $\frac23$ tak $\frac32$ jsou menší než 2.
- Třetí rovnost není dobře - limita není závislá na x. Pokud bys před zlomek doplnil znak limity, pak by ve jmenovateli zase nemohla být nula.

Písemkový postup bych si představoval např. takto:

$\lim_{x\to+\infty}\frac{x\sqrt x}{1+x^2}\quad=\quad\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{1+x^2}\cdot\frac{1}{\sqrt x}\quad=\quad\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\frac1{x^2}+1}\,\cdot\,\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt x}\quad=\quad\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt x}=0$

gisat · 23. 11. 2008 15:40

Jakub Pištěk napsal(a):
Ještě zde na požádání posílám jak by se to mělo vypočítat na písemce někde na vš aby vám to pan profesor uznal jako správný postup je potřeba ukázat že v čitately nebo jmenovately je konstanta a na druhé straně proměnná podle toho se výlsedek rovná nula nebo nekonečno zde je postup:

http://forum.matweb.cz/upload/809-limita.png

Takže řešení celé úlohy je takovéto:?

Děkuji předem za radu.

Pavel Brožek · 23. 11. 2008 15:50

↑ gisat:

Na třetím řádku ti třikrát chybí znak $\lim_{x\to\infty}$ , jinak je to myslím v pořádku.

Je vhodné si zapamatovat, že pokud je c konstanta, pak $(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)$ a také umět derivovat jednodušeji

$$\frac1{sqrt x}$'=(x^{-\frac12})'=-\frac12 x^{-\frac32}=-\frac{1}{2x^{\frac32}}$