Matematické Fórum

shaun · 14. 10. 2012 12:02

Ahoj, potřebuji pomoct s příkladem, je to z Petákové strana 51 cvičení 109 za c)

Do kružnice o poloměru R vepište pravidelný n-úhelník a zároveň této kružnici opište pravidelný n-úhelník. Vypočítejte poměr obsahů n-úhelníku vepsaného a opsaného dané kružnici.
Potřeboval bych to do středy, díky za každou pomoc :)

http://cs.wikipedia.org/wiki/Pravideln% … eln%C3%ADk

nejsem_tonda · 14. 10. 2012 23:43

Cau,
1) Opsany n-uhelnik muzeme kolem stredu kruznice libovolne otacet. Muzeme si ho teda natocit tak, aby se nam dobre pocitalo.
2) Spojime-li kazdy vrchol n-uhelnika se stredem, rozdeli se n-uhelnik na n rovnoramennych trojuhelniku s uhlem $360°/n$ naproti zakladne. Tento uhel je pro vepsany i opsany n-uhelnik stejny.

(v obrazku je A stred a |AB|=|AY|=R)

3) Staci urcit pomer mensiho (ABC) a vetsiho (ADE) trojuhelniku. Pomer vepsaneho a opsaneho n-uhelniku je stejny, protoze se jedna n-krat o tutez situaci.
4) Trojuhelniky ABC a ADE jsou podobne. Je-li koeficient podobnosti $k$ , pomer obsahu je $k^2$ .
5) Pomer podobnosti urcime treba z pomeru vysek. Trojuhelnik ADE ma vysku |AY|=R. Trojuhelnik ABC ma vysku
$|AX| = |AB|\cos(\textrm{uhel}\ BAX) = R\cos(180°/n)$
6) Pomer podobnosti je $\cos(180°/n)$ , takze pomer obsahu (vepsany ku opsany) je $\cos^2(180°/n)$

shaun · 16. 10. 2012 18:02

Díky moc za odpověď

Matematické Fórum

#1 14. 10. 2012 12:02

Pravidelné mnohoúhelníky

#2 14. 10. 2012 23:43

Re: Pravidelné mnohoúhelníky

#3 16. 10. 2012 18:02

Re: Pravidelné mnohoúhelníky

Zápatí