Matematické Fórum

monty · 28. 11. 2007 21:55

Vůbec nevím čím mám začít. Prosím poraďte.

Marian · 29. 11. 2007 08:07 — Editoval Marian (29. 11. 2007 12:21)

Tzv. nutna podminka konvergence nekonecne ciselne rady $\small{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ se povazuje splneni podminky $\small{\lim_{n\to\infty}a_n=0}$ . Jeji nesplneni implikuje divergenci diskutovane rady. Dale polozim

$a_n:=\left (\frac{n-1}{n+1}\right )^{n^2+4n+5}$ .

Nyni

$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\left (\frac{n-1}{n+1}\right )^{n^2+4n+5}=\nl \hspace{64mm}=\left (1+\frac{-2}{n+1}\right )^{n^2+4n+5}=\nl \hspace{64mm}=\lim_{n\to\infty}\left [\left (1+\frac{-2}{n+1}\right )^{n+1}\right ]^{\frac{n^2+4n+5}{n+1}}=\nl \hspace{64mm}=\lim_{n\to\infty}\left [\underbrace{\left (1+\frac{-2}{n+1}\right )^{n+1}}_{\to e^{-2}}\right ]^{\overbrace{\frac{n+4+5/n}{1+1/n}}^{\to \frac{n+4}{1}=n+4}}=\nl \hspace{64mm}=\lim_{n\to\infty}\left (e^{-2}\right )^{n+4}=0.$

Proto nutna podminka konvergence nasi rady je splnena. Pro samotne vysetreni nasi rady je mozne pouzit hned nekolik kriterii. Nejjednodussi v tomto pripade je asi limitni odmocninove kriterium, kde se studuje hodnota limity $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}$ . V nasem pripade je ale $a_n\ge 0$ pro vsechna cisla $n\in\mathbb{N}$ . Tudiz

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left (\frac{n-1}{n+1}\right )^{n^2+4n+5}}\ =\nl \hspace{75mm}=\lim_{n\to\infty}\left [\left (1+\frac{-2}{n+1}\right )^{n^2+4n+5}\right ]^{1/n}=\nl \hspace{75mm}=\lim_{n\to\infty}\left (1+\frac{-2}{n+1}\right )^{\overbrace{\frac{n^2+4n+5}{n}}^{=n+4+5/n\to n+4}}=\nl \hspace{75mm}=\lim_{n\to\infty}\left (1+\frac{-2}{n+1}\right )^{n+4}=\cdots =e^{-2}<1$ .

Studovana rada je tedy konvergentni.

monty · 29. 11. 2007 18:24

Díky..

Matematické Fórum

#1 28. 11. 2007 21:55

Konvergence

#2 29. 11. 2007 08:07 — Editoval Marian (29. 11. 2007 12:21)

Re: Konvergence

#3 29. 11. 2007 18:24

Re: Konvergence

Zápatí