Matematické Fórum

check_drummer · 16. 10. 2012 19:09

Ahoj,
nevím nakolik bude následují úloha zajímavá:

Dokažte nebo vyvraťte:
Existuje nekonečné těleso, jehož charakteristika je prvočíselná (a tedy nenulová).
Pokud takové těleso existuje, popište jej (některé z nich).

vanok · 16. 10. 2012 20:28

Ahoj,

Napriklad
Teleso rationalnych frakcii na $\mathbb{F}_p$ : ktore sa oznacuje $\mathbb{F}_p(X)$

check_drummer · 17. 10. 2012 00:40

↑ vanok:
Ahoj, to mě také napadlo. :-) Děkuji.

OiBobik · 17. 10. 2012 00:42

↑ check_drummer:

Ahoj,

já bych přidal

1) algebraický uzávěr tělesa $\mathbb{F}_p$

2) Formální Laurentovy řady nad $\mathbb{F}_p$ , tj. $\{\sum_{n=k}^\infty t_n x^n| \forall n \in \{k,k+1,\dots\}: t_n \in \mathbb{F}_p, k \in \mathbb{Z}\}$ se sčítáním po složkách a násobením "jako u polynomů".

check_drummer

↑ OiBobik:
Ahoj,
jen přemýšlím - nejsou racionální funkce nad $\mathbb{F}_p$ izomorfní (nebo vnořené) s tělesem (do tělesa) formálních Laurentových řad nad $\mathbb{F}_p$ ?

OiBobik · 19. 10. 2012 15:27

↑ check_drummer:

Ahoj,

je pravda, že tam asi budou vnořené (když polynomům z těch racionálních funkcí přiřadím stejné polynomy v Laurentových řadách a "polynomům ve jmenovateli," tj. inverzům k polynomům, přiřadím inverzy ke stejným polynomům, zdá se mi, že to bude tělesový homomorfismus). To mi nedošlo. Ale stejné ty objekty určitě nejsou (stačí uvážit výše uvedený homomorfismus, který je prostý, tj je to isomorfismus na obraz, do kterého ale nespadá řada $x+x^2+x^3+ \dots$ ).

check_drummer · 20. 10. 2012 14:41

↑ OiBobik:
Ahoj,
nebude Laurentových řad nespočetně mnoho? To by také ukazovalo na to, že izomorismus neexistuje (racionálních funkcí je spočetně).

OiBobik · 21. 10. 2012 11:50

↑ check_drummer:

Ahoj,

to máš pravdu, to je lepší argument.

Matematické Fórum

#1 16. 10. 2012 19:09

Existence nekonečného tělesa prvočíselné charakteristiky

#2 16. 10. 2012 20:28

Re: Existence nekonečného tělesa prvočíselné charakteristiky

#3 17. 10. 2012 00:40

Re: Existence nekonečného tělesa prvočíselné charakteristiky

#4 17. 10. 2012 00:42

Re: Existence nekonečného tělesa prvočíselné charakteristiky

#5 17. 10. 2012 18:32 — Editoval check_drummer (17. 10. 2012 19:05)

Re: Existence nekonečného tělesa prvočíselné charakteristiky

#6 19. 10. 2012 15:27

Re: Existence nekonečného tělesa prvočíselné charakteristiky

#7 20. 10. 2012 14:41

Re: Existence nekonečného tělesa prvočíselné charakteristiky

#8 21. 10. 2012 11:50

Re: Existence nekonečného tělesa prvočíselné charakteristiky

Zápatí