Matematické Fórum

Google · 18. 10. 2012 16:04

Ahoj, potřeboval bych prosím vědět, jak vyřešit tento příklad:
Dokažte indukcí: $\forall a,b\in \mathbb{C},\forall m\in \mathbb{N}$ platí $a^{m}-b^{m}=(a-b)\sum_{k=0}^{m+1}a^{k}b^{m-1-k}$
Existuje nějaký vzorec nebo přímočarý postup? Děkuju

skoroakvarista · 18. 10. 2012 16:20

↑ Google:
Zdravím, je to zadání opravdu takhle? Mám na mysli horní sčítací index sumy, protože takhle bude a vlevo v m-té mocnině a vpravo v (m+2)-té mocnině a to se bude rovnat dost těžko...

Google · 18. 10. 2012 16:28

↑ skoroakvarista:Asi jsem si to špatně opsal do sešitu. Mohl bys mi prosím říct jak by se to řešilo třeba pro horní index= m?(pokud to jde) Děkuju.

Rumburak

↑ Google:

Ahoj. Správný tvar vzorce je

(1) $a^{m}-b^{m}=(a-b)\sum_{k=0}^{m-1}a^{k}b^{m-1-k}$ .

V indukčním kroku proveď úpravu

$a^{m+1}-b^{m+1} = aa^{m}- ba^{m} + ba^{m} - b^{m+1} = a^m(a-b) + b(a^{m}-b^{m})$ ,

tím tam dostaneš možnost použít (1) jako indukční předpoklad.

Google · 18. 10. 2012 16:54

↑ Rumburak:Aha, tak tady je chyba. Mohl bys prosimte napsat strucný návod jak to vyřešit? Díky.

jarrro · 18. 10. 2012 16:54 — Editoval jarrro (18. 10. 2012 16:57)

$a^m-b^m=$a-b$\sum_{k=0}^{m-1}{a^kb^{m-1-k}}$
pre m=1 to platí a
$a^{m+1}-b^{m+1}=a\cdot a^m-b\cdot b^m=a$a^m-b^m$+$a-b$\cdot b^m=\nl =a$a- b$\sum_{k=0}^{m-1}{a^kb^{m-1-k}}+$a-b$\cdot b^m=$a-b$$a\sum_{k=0}^{m-1}{a^kb^{m-1-k}}+b^m$=\nl =$a-b$$\sum_{k=0}^{m-1}{a^{k+1}b^{m-\(k+1$}}+b^m\)=$a-b$$\sum_{k=1}^{m}{a^{k}b^{m-k}}+a^0b^{m-0}$=$a-b$\sum_{k=0}^{m}{a^{k}b^{m-k}}$
pri takýchto úlohách väčšinou pomáha písať to čo vieš a väčšinou to vyjde z ničoho nič ako aj teraz napr.