Matematické Fórum

dumpman · 16. 10. 2012 22:14

Ahoj,
jedna se sice o priklad z fyziky, ale jde primarne o uziti statistickeho aparatu, coz je dnes uz brano jako matematika, asi jsem idiot ale nejak me to nevychazi.

Uz sem to vcera postnul do "Fyziky", ale tam zatim zadna odpoved, nechci to tu spamovat, takze pokud mi nekdo odpovi, druhe vlakno smaznu.

diky za odpovedi

1. Neutrina produkovaná urychlovačem SPS v CERNu se registrují podzemním detektorem OPERA
v laboratoři Gran Sasso vzdálené přibližně 730 km. Maximální chyba stanovení času vzniklu a času
detekce neutrina je 10 ns. Jak přesně je nutno znát vzdálenost mezi urychlovačem SPS a detektorem
OPERA aby bylo možné spolehlivě detekovat překročení rychlosti světla ve vakuu
(c = 299 792 458 m/s) o tisícinu procenta.
Řešení:
[maximální chyba vzdálenosti musí být menší než 1 m]

Brano · 16. 10. 2012 23:16

Ak $v=\frac{L}{t_1-t_2}$ , zvladnes napisat diferencial $dv$ ?

dumpman · 17. 10. 2012 01:09

mno je to derivace v podle t1 nasobena (t1-t2) ne? bohuzel zatim moc nevim kam miris

Brano · 17. 10. 2012 01:21 — Editoval Brano (17. 10. 2012 01:24)

no nie to som nemyslel
$v$ je funkcia troch premennych $v=v(L,t_1,t_2)$ a diferencial hovori o tom ako sa meni $v$ pri malych zmenach (v tomto pripade chybach) $L,t_1,t_2$

taketo poznas?
$dv=\frac{\partial v}{\partial L}dL+\frac{\partial v}{\partial t_1}dt_1+\frac{\partial v}{\partial t_2}dt_2$

takze skus ho vyjadrit a posunieme sa dalej

PS: snad je jasne co myslim tym vzorcom $t_1$ cas vzniku neutrina $t_2$ cas v ktorom ho zachytime $L$ vzdialenost co preletelo a teda $v$ jeho rychlost

dumpman · 17. 10. 2012 02:08

uz tusim kam miris (: musim jit bohuzel spat, pac rano vstavam do prace, pokud se mi nepodari priklad vyresit, dam behem zitrka vedet, kde jsem se zasekl.

Jinak opravdu diky moc za trpelivost

dumpman · 17. 10. 2012 11:02

asi jsem natvrdlej nebo nevim. diferencial ma vypadat takto?
$\frac{1}{(t_{1}-t_{2})}dL-\frac{L}{(t_{1}-t_{2})^{2}}dt_{1}+\frac{L}{(t_{1}-t_{2})^{2}}dt_{2}$
zasekl jsem se dost brzy ):

Brano · 17. 10. 2012 15:05 — Editoval Brano (17. 10. 2012 18:54)

Nevadi, prvy krok mas dobre.

Este jemnost - omylom prehodil som interpretaciu $t_1$ a $t_2$ .

Teraz si treba uvedomit co si vlastne vypocital. $L,t_1,t_2$ su pevne - t.j. take ake sa namerali a $dL,dt_1,dt_2$ ideme interpretovat ako chyby merania ktore nastali a chceme nejak odhadnut chybu merania $v$ a pouzijeme na to prave $dv$ .

Jedna z metod ma takuto filozofiu. Vieme, ze napr. $dt_1\in[-\Delta t_1,\Delta t_1]$ , kde $\Delta t_1$ je maximalna chyba merania casu, cize $10ns$ . Podobne tie ostatne. A teraz je uloha najst take $dL,dt_1,dt_2$ v povolenych intervaloch, aby $dv$ bolo co najvacsie (a to sa nazve $\Delta v$ ), cize odhadneme maximalnu moznu chybu. Kedze sa jedna o linearny vyraz, tak to mozu byt iba krajne body tych intervalov, len si treba dat pozor aby si "chyby vzdy scitaval".

vysledok je $\Delta v=\left|\frac{\partial v}{\partial L}\right|\Delta L+\left|\frac{\partial v}{\partial t_1}\right|\Delta t_1+\left|\frac{\partial v}{\partial t_2}\right|\Delta t_2$ , takze staci jemne upravit tvoj vysledok pocitania diferencialu.

Ine metody su trochu viac statisticke a vyuzivaju pripadnu vedomost o tom ako su dane chyby rozdelene.
Pre zaujimavost, za predpokladu, ze by boli chyby nezavisle a normalne rozdelene a $\Delta x$ by oznacovalo smerodajnu odchylku $x$ , tak by bol vysledok
$(\Delta v)^2=\left(\frac{\partial v}{\partial L}\right)^2(\Delta L)^2+\left(\frac{\partial v}{\partial t_1}\right)^2(\Delta t_1)^2+\left(\frac{\partial v}{\partial t_2}\right)^2(\Delta t_2)^2$ . Ak by ta zaujimal postup k tomuto tak mozem skusit dat navod aj k nemu.

Tak ci tak si ale treba vzdy uvedomit, ze aby nas trik s linarizaciou fungoval, tak chyby musia byt relativne male.

Teraz si este treba uvedomit, ze v zadani nemame $t_1,t_2$ , tak skus ten vysledok upravit tak aby obsahoval iba $v$ a $L$ . Dalej mozes pouzit, ze $\Delta t_1=\Delta t_2=\Delta t$ , a kedze chybu pre meranie rychlosti nemame udanu ako absolutne cislo, ale v percentach, cize pomer, tak rovno vyjadri.
$\frac{\Delta v}{v}=...$
Napis co ti vyslo.

dumpman

tak nevim, porad tomu uplne nerozumim, kazdopadne bych bral spise prvni reseni, protoze o rozdeleni nemame zadnou informaci a predpokladani je sice hezke, ale jedna se o priklad.

Vychazi mi to dosti ruzne, zkusim tedy pokracovat myslenkovym postupem a ty mi ho prosim vyvrat (:

pokud jsou $L, t_{1}$ a $t_{2}$ pevne, pak by se melo jednat o namerene hodnoty, ale my je ze zadanani namerene nemame - $L$ ~ priblizne 730 000m a rozdil $t_{1}$ a $t_{2}$ nemame vubec ( $t_{1} - t_{2} = \frac{730 000}{c*1,00001}???$ ) to ale neni mereni, ale muj matematicky odhad. Pote odhad maximalnich chyb $\Delta L, \Delta t_{1}$ a $\Delta t_{2}$ je z nasledujiciho myslenkoveho pochodu $\Delta t_{1}$ i $\Delta t_{2}$ je max 10ns protoze poku by prvni bylo nulove druhe musi mit 10ns a naopak. Jak mam ovsem odhadnout $\Delta L$ ? jako $(c*1,00001)*10$ ? to je asi blbost, ale jedine tak dopocitam $\Delta v$ . nemel bych spis pocitat primarne $\Delta L$ namisto $\Delta v$ ?

fakt nevim, vubec nic rozumneho mi nevychazi ):

Brano · 18. 10. 2012 17:50 — Editoval Brano (18. 10. 2012 17:54)

Ano $L,t_1,t_2$ su namerane hodnoty, ale v zadani mas iba $L$ a $v$ . Lenze mas aj vztah $v=...$ , z toho vies vyjadrit $t_1-t_2$ a dosadit do vyrazu $\Delta v=...$ .
$\Delta t_1$ a $\Delta t_2$ uz niesu 0, alebo 10ns alebo nieco ine. $\Delta x$ sme uz oznacili maximalnu moznu chybu, zatial co $dx$ oznacuje skutotocnu chybu. Teda $\Delta t_1=\Delta t_2=\Delta t =10ns$ (to $\Delta t$ je len nove oznacenie, lebo po tebe chcem vzorec s pismenkami a nie cislami).
A posledna vyhrada co si mal je, ze nevieme $\Delta L$ ... no iste, ze ho nevieme, kedze ho podla zadania mame vypocitat. Takze skus vyjadrit ako som naznacil
$\frac{\Delta v}{v}=...$ ako vyraz obsahujuci $v,L,\Delta L,\Delta t$ .
Posledna vec ktoru mas napisanu v zadani je, ze $\frac{\Delta v}{v}<10^{-5}$ , z toho sa potom dopocita $\Delta L$ .

dumpman · 18. 10. 2012 18:35

super zacinam tomu rozumet (: jen si nejsem jist, ze $\frac{\Delta v}{v}<10^{-5}$ , jestlize maximalni chyba bude v radu tisiciny procenta, nejsme preci schopni s jistotou rici, ze neutrina prekrocila c o tisicinu procenta. Nebo se pletu?

dumpman · 18. 10. 2012 18:57

vyslo mi jinak toto $\Delta L < 10^{-5}L - 2c(1,00001)\Delta t = 1,3$
dosadil jsem tak jak si psal, mno vysledek je preci jen o trochu jiny, takze nevim, jestli jsem jeste nekde neudelal chybu, kazdopadne muj dotaz vyse stale trva

Brano · 18. 10. 2012 18:58

Ano isteze by to bolo diskutabilne, ale charakter otazky sa mi zda taky, ze "najdi $\Delta L$ , aby sme sa vobec mohli zacat bavit o tom, ci ju prekrocili". A ak ti vyjde $v=1.00001c$ a relativna chyba je trebars $0.999*10^{-5}$ tak prekrocili. Samozrejme, ak by si si chcel byt fakt isty, tak to mozes este znizit o rad, ale potom by vyslo, ze to je jedno ake $\Delta L$ bude, taka sa proste nedosiahne (kvoli "velkemu" $\Delta t$ , resp. malemu $L$ ), ale ved si to potom mozes vyskusat a uvidis. Orem toho ak to zratas s $10^{-5}$ tak vyjde cca $1.3m$ , takze $1m$ by mal byt OK :-)

dumpman

kazdopadne strane moc diky za pomoc. Jinak tam se nepise o prekroceni, ale o jistem prekroceni, coz by ale "matematickou" definici preci jen melo dostacovat. Priklad je to podivny a neprijde mi uplne trivialni, treba vzhledem k tomu, ze by vyucujici nemel predpokladat znalost uziteho matematickeho aparatu, ale buh vi. Ja jsem myslel, ze to bude jen o uziti vet o souctu/nasobku/mocnine maximalnich chyb mereni, ktere jsme v tomto pripade vubec nepouzili. Byl to prvni priklad na cvikach z uvodu do prakticke fyziky a ma byt jednoduchy. Zkusim to poslat vyucujicimu, co na to rekne, jsem zvedavej.

Brano · 18. 10. 2012 19:35

No tento pristup mi pride systematickejsi (a jednoduchsi, ale to je subjektivne) a tie pravidla pre sucin a mocnenie sa z neho daju odvodit (pravidlo pre sucet sa tu vlastne pouzilo). Ale kedze ten vyraz pre $v$ obsahuje iba rozdiel a podiel tak by sa dalo vystacit a s nimi (co si inak mohol povedat na zaciatku :-)

Islo by to takto
$v=\frac{L}{T}$ , kde $T=t_1-t_2$ potom $\Delta T=\Delta t_1+\Delta t_2=2\Delta t$ a teda
$\Delta v=\frac{1}{T}\Delta L+\frac{L}{T^2}\Delta T=\frac{v}{L}\Delta L+2\frac{v^2}{L}\Delta t$
a dalej je to jasne.

Podla mna pamatat si tieto pravidla je dost narocne, radsej si pamatam ten vzorcek co sme si odvodili. On totiz plati vseobecne a zrejme ho teda budete mat coskoro na prednaske (pricom ja som si povodne myslel, ze ste ho mali)

Ten vzorcek je takyto: Ak $f=f(x_1,...,x_n)$ potom
$\Delta f=\sum_{i=1}^n\left|\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|\Delta x_i$
Cize cele riesenie vyzera iba tak, ze napisem
$v=...$
$\Delta v=...$
a vyjadrim $\Delta L$ z $\frac{\Delta v}{v}<q$ .

dumpman · 18. 10. 2012 20:06

jasne, to je presne ten postup, kterym jsem se dobral k 1,3....m, ale nevim jestli je to spraven (:, resp. nemelo by to byt spravne. jinak vzorecek mi smysl dava, je to vlastne maximalni potencialni "aproximovana" chyba ktere je velicina schopna nabyt.

No jsem zvedav co mi na to odpovi cvicici. schvalne to sem postnu (:

Brano · 18. 10. 2012 21:39

ahaaa... teba trapi ten rozdiel medzi 1.3m a 1m. Ale tu by som povedal, ze charakter ulohy je taky, ze sa tam chcelo v podstate iba to, ze do akeho radu ma byt ta dlzka presne merana takze je jedno ci to bude 0.9m 1.3m alebo 2m mozes odpovedat ze 1m. Pri takejto ulohe je omnoho podstatnejsie napisat postup (s pripadnymi predpokladmi co si potreboval) a vysledok vo forme vzorca a nie iba cislo.

dumpman · 18. 10. 2012 22:53

takhle, ja si to osobne nemyslim, ze jde o rad, velmi tusim, ze vysledek bude $\Delta L < 0,99....$ . Kdyby slo jen o proble radu, tak uziju vzorec pro vypocet maximalni chyby soucinu $\varepsilon_{L} = \varepsilon_{vt} = \varepsilon_{v}\mu_{t} + \varepsilon_{t}\mu_{v}$ kde miii jsou namerene hodnoty, resp. odhady namerenych hodnot (rychlost mam 1,0001c a ze vzdalenosti dopocitam cas) a dostanu neco kolem 3 nebo tak, takze rad je zase stejny. Ikdyz je to spatny a mene sofistikovany postup, tak rad je nezpochybnitelny a je to mnohem rychlejsi reseni (ikdyz zalozene na vetsi neznalosti). Myslim, ze to ma preci jen nejake jeste jine reseni

Brano · 19. 10. 2012 00:23

To by sice vyslo, ale bola by to v podstate iba (ne)stastna nahoda. Vsimni si, ze sme odvodili (zapisane tvojimi symbolmi)
$\varepsilon_{L} = \varepsilon_{v}\mu_{t} - \varepsilon_{t}\mu_{v}$

Keby boli vhodne cisla, tak to moze uplne zmenit rad, dokonca ak by sme chceli tu vyslednu presnost na sest desatinnych, tak by to uplne zmenilo charakter odpovede: "neda sa" vs. "nejaky vysledok".

Dalo by sa samozrejme vychadzat aj zo vztahu $L=v.T$ , ale bolo by treba postupovat opatrne - najprv diferencial, potom vyjadrit $dv$ (to ze sa to ma zmysel zarucuje veta o implicitnej funkcii) a potom z toho odvodit vztah pre chyby (ako sme to urobili) a potom naspat vyjadrit $\Delta L$ .

Pointa je v tom, ze to NIE je tak, ze chyba $L$ je sposobena chybami $v,T$ , ale JE to tak, ze chyba $v$ je sposobena chybami $L,T$ . Cize znova prizvukujem postup je dolezitejsi ako vysledok, totizto aj ked ti ten zly postup da v podstate spravny vysledok tak ho nemozes akceptovat.

dumpman

jj, to mas asi pravdu. diky moc za trpelivost a super vyklad. a abych te potesil, tento postup cvici naprosto schvaluje, jen zminil, ze je to hruby radovy odhad a proto to zaokrouhleni.

Matematické Fórum

#1 16. 10. 2012 22:14

maximalni chyba mereni

#2 16. 10. 2012 23:16

Re: maximalni chyba mereni

#3 17. 10. 2012 01:09

Re: maximalni chyba mereni

#4 17. 10. 2012 01:21 — Editoval Brano (17. 10. 2012 01:24)

Re: maximalni chyba mereni

#5 17. 10. 2012 02:08

Re: maximalni chyba mereni

#6 17. 10. 2012 11:02

Re: maximalni chyba mereni

#7 17. 10. 2012 15:05 — Editoval Brano (17. 10. 2012 18:54)

Re: maximalni chyba mereni

#8 18. 10. 2012 13:54 — Editoval dumpman (18. 10. 2012 13:58)

Re: maximalni chyba mereni

#9 18. 10. 2012 17:50 — Editoval Brano (18. 10. 2012 17:54)

Re: maximalni chyba mereni

#10 18. 10. 2012 18:35

Re: maximalni chyba mereni

#11 18. 10. 2012 18:57

Re: maximalni chyba mereni

#12 18. 10. 2012 18:58

Re: maximalni chyba mereni

#13 18. 10. 2012 19:11 — Editoval dumpman (18. 10. 2012 19:13)

Re: maximalni chyba mereni

#14 18. 10. 2012 19:35

Re: maximalni chyba mereni

#15 18. 10. 2012 20:06

Re: maximalni chyba mereni

#16 18. 10. 2012 21:39

Re: maximalni chyba mereni

#17 18. 10. 2012 22:53

Re: maximalni chyba mereni

#18 19. 10. 2012 00:23

Re: maximalni chyba mereni

#19 19. 10. 2012 10:23 — Editoval dumpman (19. 10. 2012 10:26)

Re: maximalni chyba mereni

Zápatí