Matematické Fórum

Natálie

Dobrý den, chtěla bych poradit ohledně dvojrozměrného integrálu $\int_{}^{}\int_{}^{}x(1+y^{2})^{-1/2} dxdy$ v oblasti Ω, který je ohraničen čarami y=x^2, y=4, x=0, $x\ge 0$ . Meze pro x by mělo být 0,1, u y x^{2} a to druhé číslo netuším, nejspíš je blbost aby to byla 4. Je to parabola a zhora ohraničena přímkou ve 4.
Každopádně netuším, jak spočítat integrál. Skončila jsem u rozvržení, kde x dám do prvního integrálu a u druhého bude zlomek 1/(1+y**2), ale nezdá se mi, že by to měl být arcsin, nebo arctg. Budu ráda za každou pomoc.

jelena · 20. 10. 2012 00:08

Zdravím,

zkusím to upřesnit: zadání: $\iint \frac{x}{\sqrt{1+y^{2}}} \d x\d y$

ohraničen čarami y=x^2, y=4, x=0, $x\ge 0$ . Meze pro x by mělo být 0,1, u y x^{2} a to druhé číslo netuším, nejspíš je blbost aby to byla 4. Je to parabola a zhora ohraničena přímkou ve 4.

Meze pro x by mělo být 0 až 2 (jelikož pro nalezení průsečíku řešíme $x^2=4$ ). meze pro y jsi určila dobře, je to $y=x^2$ a $y=4$ .

Skončila jsem u rozvržení, kde x dám do prvního integrálu a u druhého bude zlomek 1/(1+y**2), ale nezdá se mi, že by to měl být arcsin, nebo arctg. Budu ráda za každou pomoc.

u "druhého" bude (po dy) $\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}$ a je možné, že bude něco takového (ale to se musíme dohodnout na zadání).

tedy tak nějak $\int_{0}^{2}x$\int_{x^2}^{4}\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}} \d y$\d x$ (případně to upravíme po dohodě o zadání). Nástroje úvodního tématu jsi zkoušela? Děkuji.

Natálie · 20. 10. 2012 17:18

Děkuji. Ano, takové je zadání.
$\int_{0}^{2}x$\int_{x^2}^{4}\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}} \d y$\d x$ .
Takže po integraci bych měla $\int_{0}^{2}x(arcsin(4)-arcsin(x^{2})) dx$

jelena · 20. 10. 2012 21:12

↑ Natálie:

skoro, po integraci byl by to argsinh (ne arcsin).

Natálie · 20. 10. 2012 21:57

Aha a jak mám pokračovat dál? Lze to nahradit tímhle $ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$ ? Pak netuším jak definovat 4.
Výsledek by pak měl vyjít $\frac{1}{2}(\sqrt{7}-1)$

jelena · 20. 10. 2012 23:01

↑ Natálie:

nahradit $\mathrm{argsinh}(x^2)=\ln$x^2+\sqrt{x^{4}+1}$$ to by asi šlo, ale nevím, jak se nám bude líbit integrovat.

Pak netuším jak definovat 4.

myslíš $\mathrm{argsinh}(4)$ - to by zrovna nevadilo, je to konstanta. Spíš si mi zdá, že práci si ušetříme, když přehodíme meze, tak:

$\int_{0}^{4}\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}$\int_{0}^{\sqrt{y}} x\d x$\d y$ . Jak se Tobě jeví? Děkuji.

Natálie · 20. 10. 2012 23:27

Jojo, takže mi vznikne zkoušela jsem substituci $t=\sqrt{1+y^{2}}$ , meze mi vyšly $1, \sqrt{17}$ , ale výsledek mi vůbec nevyšel

jelena · 20. 10. 2012 23:43

↑ Natálie:

nemůže být jen překlep ve výsledku? Odkaz. Odkud je úloha? Děkuji.

Natálie · 20. 10. 2012 23:46

No joo, už to vidím :) Děkuji za spolupráci :)

jelena · 20. 10. 2012 23:52

↑ Natálie:

Tak to je dobře, také děkuji :-)

Matematické Fórum

#1 19. 10. 2012 19:25 — Editoval Natálie (19. 10. 2012 19:32)

Dvojnásobný integrál

#2 20. 10. 2012 00:08

Re: Dvojnásobný integrál

#3 20. 10. 2012 17:18

Re: Dvojnásobný integrál

#4 20. 10. 2012 21:12

Re: Dvojnásobný integrál

#5 20. 10. 2012 21:57

Re: Dvojnásobný integrál

#6 20. 10. 2012 23:01

Re: Dvojnásobný integrál

#7 20. 10. 2012 23:27

Re: Dvojnásobný integrál

#8 20. 10. 2012 23:43

Re: Dvojnásobný integrál

#9 20. 10. 2012 23:46

Re: Dvojnásobný integrál

#10 20. 10. 2012 23:52

Re: Dvojnásobný integrál

Zápatí