Matematické Fórum

PanTau · 20. 10. 2012 13:35

Ahoj, mohl by mi někdo prosím objasnit postup výpočtu?

Ukaž že posloupnost je rostoucí:

$(\frac{n}{5n+6})$

Sulfan · 20. 10. 2012 14:30

Ahoj,
definice rostoucí posloupnosti je taková, že následující člen je vždy větší než člen předchozí. To znamená, že ve výsledku bude rostoucí celá - můžeš si třeba zkusit vypsat pár členů :

$\left (\frac{1}{11},\frac{1}{8},\frac{1}{7},\frac{2}{13} ... \right )$
a vidíš, že
$\frac{1}{11} < \frac{1}{8} < \frac{1}{7} < \frac{2}{13}$

Potřebujeme tedy dokázat, že:

$\forall n \in \matbBB{n}$ platí $\frac{n}{5n+6}<(\frac{n+1}{5(n+1)+6})$

Uměl bys pokračovat (tj jakoby řešit tuto nerovnici pro n)?

PanTau · 20. 10. 2012 14:46

↑ Sulfan:

Pokud jsem neudělal chybu tak -

$\frac{n}{5n+6} - \frac{n+1}{5n+11} < 0$

$\frac{n(5n+11) - (n+1) (5n+6)}{(5n+11) (5n+6)}<0$

$\frac{5n^{2}+11n-5n^{2}-6n-6n-6}{(5n+11) (5n+6)}<0$

Snad jsem vše naťukal správně. Důležité je, že nahoře mi vyjde -1n-6, podle výsledků má být nahoře POUZE 6
(nahoře=čitatel)

(Výsledek zapsat umím - jen je složité to sem ťukat přes kód)
Asi neumím násobit jednoduchá čísla, nebo kde jsem se seknul?

$\frac{-1n-6}{(5n+11) (5n+6)}$