Matematické Fórum

Morphid · 19. 10. 2012 12:31

Zdravím,

potřeboval bych nasměrovat v následujícím příkladu:

zadání: Podle definice limity ukažte: $\lim_{n\to+\infty }sin(\pi n)=0$

Vím, že se jedná o vlastní limitu, čili je definice k tomuto příkladu následující:
$\lim_{n\to+\infty }sin(\pi n)=0 \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\exists n_0\in\mathbb{N}\forall n\in \mathbb{N}: n>n_0\Rightarrow |sin(\pi n)-0|<\varepsilon$

Ale nevím, jak upravit $|sin(\pi n)-0|<\varepsilon$

Předem díky za odpověďi :)

JohnPeca18 · 19. 10. 2012 12:35

Potrebujes si uvedomit ako sa sprava $sin(\pi n), n\in N$ a ake hodnoty nadobuda.

dumpman · 19. 10. 2012 17:11

musi to byt primy dukaz z definice? nebo to mas proste dokazat? na tohle se primo nabizi indukce a uziti vzorce sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)...

Morphid · 19. 10. 2012 22:01

Takhle... pomocí definice limity posloupnosti mám ukázat, že to tvrzení platí..

dumpman · 20. 10. 2012 15:54

Nevim no, navrhuji tohle:
mejme fci $sin(n\pi )$
pro $n = 1$ plati $sin(\pi ) = 0$
predpokladejme, ze $sin(n\pi ) = 0$ pro $n \in \mathbb{N}$
$sin((n+1)\pi ) = sin(n\pi +\pi ) = sin(n\pi)cos(\pi ) + cos(n\pi)sin(\pi ) = sin(n\pi) + 0 = sin(n\pi)$ ktere je ovsem z predpokladu 0, tedy jsme ukazali, ze nase fce nabyva na celem definicnum oboru prirozenych cisel hodnoty 0, tedy pro $\forall n\in \mathbb{N}$ a $\forall \varepsilon \in \mathbb{R^{+}}$ plati $|sin(n\pi)|<\varepsilon$
to by snad melo jit...