Matematické Fórum

Jozef3 · 20. 10. 2012 17:10

Ahoj, všichni,
mým úkolem je dokázat následující tvrzení: Pro každé $a\in \mathbb{Z}$ a všechna p, q různá prvočísla platí: $pq\mid a^{q+p}-a^{p+1}-a^{q+1}+a^{1+1}$ .
Mimo jiné jsem zkoušel i následující úvahu: BÚNO jsem předpokládal, že $0\le a< pq$ a pak jsem se matematickou indukcí podle a snažil dokázat kongruenci $a^{p+q}-a^{p+1}-a^{q+1}+a^{1+1}\equiv 0 (mod pq)$ . Dostal jsem se však do neřešitelných problémů, že když jsem umocnil všechny a+1 na příslušné exponenty, dostal jsem dle binomické věty takové výrazy, které už těžko jdou dostat do nějakého tvaru, abych dokázal tvrzení (vůbec mi ani není jasné, kde využít předpoklad, že p a q jsou různá a prvočísla, ačkoliv je mi zřejmé, že pro p=q=2 tvrzení neplatí).
Problém asi je, že toto tvrzení snad ani nemá „hezký“ důkaz indukcí a jiný mě nenapadá. Co mi proboha z teorie čísel uniká, abych mohl tvrzení dokázat? Nenapadá někoho nějaký „hezký“ nápad, jak na to? Např. Eulerova věta, vlastnosti prvočísel,...?
Moc děkuji za nápady.

vanok · 20. 10. 2012 18:26

Ahoj,
Staci vyuzit, ze
$a^{p+q}-a^{p+1}-a^{q+1}+a^{1+1}=(a^p-a)(a^q-a)$ .

Zvysok, mozes ukazat, napriklad vdaka pouzitym binomickej vety ( 2X ).

Jozef3 · 20. 10. 2012 19:32

↑ vanok: Ahoj,
moc děkuji za hezký nápad. Z rovnosti, kterou jsi mi prozradil, vyplývá, že zbytek důkazu tvrzení spočívá v triviální aplikaci malé Fermatovy věty, neboť ta tvrdí, že $p\mid a^{p}-a$ a $q\mid a^{q}-a$ , tedy $pq\mid (a^{p}-a)(a^{q}-a)$ . Předpoklad, že p a q jsou různá je tedy nadbytečný? (Zprvu jsem si myslel, že bez tohoto předpokladu najdu protipříklad, když položím q=p=2 a a=-1, ale už jsem si uvědomil, že tomu tak není.)

vanok · 20. 10. 2012 19:45

Vyborne, tak to mas dokazane... a dal som ti aj navod na jeden dokaz malej Fermat-ovej vety ( mozno iny ako v skole).
Tak dobre pokracovanie.

Matematické Fórum

#1 20. 10. 2012 17:10

Důkaz v elementární teorie čísel

#2 20. 10. 2012 18:26

Re: Důkaz v elementární teorie čísel

#3 20. 10. 2012 19:32

Re: Důkaz v elementární teorie čísel

#4 20. 10. 2012 19:45

Re: Důkaz v elementární teorie čísel

Zápatí