Matematické Fórum

Morphid · 21. 10. 2012 13:35

Ahoj,

potřeboval bych poradit s řešením jednoho příkladu. Mám vypočítat součet nekonečné číselné řady $\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{-2}{n^2+18n+80}$

Rozložil jsem výraz na parciální zlomky, z čehož jsem dostal tohle: $\sum_{n=1}^{+\infty }(\frac{1}{n+10}-\frac{1}{n+8})$

Poradili byste mi prosím postup, jak vypočítat součet této řady a jak určit předpis pro n-tý člen řady $s_n$ ??

Předem děkuji za odpovědi a vysvětlení :)

vanok · 21. 10. 2012 13:56 — Editoval vanok (21. 10. 2012 14:09)

Ahoj

najdime skor $s_k$
(n je uz pouzite ako viazany index v sucte)

$s_k=\sum_{n=1}^{k}(\frac{1}{n+10}-\frac{1}{n+8})=$
$\frac 1{11} - \frac 1 9 +\frac 1 {12} - \frac 1 {10} + \frac 1 {13}- \frac 1 {11}+...+ \frac{1}{k+10}-\frac{1}{k+8}=$
$- \frac 1 9- \frac 1 {10} + \frac 1 {k+9}+\frac 1 {k+10}= -\frac {19}{90}+ \frac 1 {k+9}+\frac 1 {k+10}$

(Prakticke poznamky:vela clenom sa vyluci lebo maju opacne znamienko!
prakticky, napis si pod seba napriklad pre k= 6 cleny suctu, v prvom riadku zo znamienkom +, v druhom zo znamienkom - a skrkaj co sa da... a uvidis ako to funguje.
Tento vysledok, sa da pouzit na urcenie limity danej rady .... ktora je $-\frac {19}{90}$ )

Morphid

↑ vanok: Jo tahkel! :) Takže se mi prakticky vše vyškrtá kromě členů $-\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\frac{1}{n+9}+\frac{1}{n+10}$ ..

funguje to pokaždé? Že mi zbyde 2. v $a_1$ , 2. v $a_2$ a 1. v $a_{n-1}$ a 1. v $a_{n}$ ?? :)

Čili teď vím, že předpis pro n-tý člen řady je: $s_n = -\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\frac{1}{n+9}+\frac{1}{n+10}$

z toho vypočítám součet řady: $S=\lim_{n\to+\infty }s_n=-\frac{19}{90}$

a když potřebuji vypočítat součet prvních 10 členů $s_{10}$ , tak jen místo n ve vzorci pro n-tý člen dosadím za $n=10$ ??

vanok · 21. 10. 2012 14:16 — Editoval vanok (21. 10. 2012 14:23)

↑ Morphid:,
Ano..
ale opatrne z tym indexom n, ak ho chces pouzit vo vypoctoch ten viazany vymen na i, v povodnom sucte. (aby si nemal "zrazenie" indexov)

Brano · 21. 10. 2012 14:23

↑ Morphid:
k otazke, ci to tak ide vzdy ... nie
napr priamo
$\sum\frac{1}{n^2}$
sa ani neda takto upravit a v
$\sum\frac{2\pi}{n^2-\pi^2}=\sum(\frac{1}{n-\pi}-\frac{1}{n+\pi})$
mame siece pekne vyzerajuci rozdiel, ale nic sa skrtat nebude

Morphid · 21. 10. 2012 14:51

↑ vanok: Děkuji za vysvětlení, už jsem to vypočítal :) snad mi vyjdou i ty ostatní příklady :D

↑ Brano: Aha, takže je prakticky vzato nutné si vypsat první a poslední členy abych zjistil, co se vyškrtá..? :)

Brano · 21. 10. 2012 15:56

↑ Morphid:
ano, treba si to overit, aj ked ak je v zadani ze mas vypocitat sucet, tak mozes cakat ze to "nejak pojde"

aj ked da sa napr. zratat aj rad $\sum\frac{1}{n^2}$ , len je to mierne komplikovanejsie - pouzije sa taky trik, ze sa nejaka konkretna funkcia (nepamatam aka, ale je to na wiki) rozvinie do fourierovho radu a potom sa vsimne, ze sa ten rad vlastne rovna funkcnej hodnote pre vhodne $x$ - len neviem ci toto nahodou nepresahuje osnovy predmetu z ktoreho mas tieto ulohy

Morphid · 21. 10. 2012 16:36

↑ Brano: Jo, to jsme ještě nebrali :) Každopádně děkuji za pomoc :)

Matematické Fórum

#1 21. 10. 2012 13:35

Součet řady s rozkladem na parciální zlomky

#2 21. 10. 2012 13:56 — Editoval vanok (21. 10. 2012 14:09)

Re: Součet řady s rozkladem na parciální zlomky

#3 21. 10. 2012 14:12 — Editoval Morphid (21. 10. 2012 14:14)

Re: Součet řady s rozkladem na parciální zlomky

#4 21. 10. 2012 14:16 — Editoval vanok (21. 10. 2012 14:23)

Re: Součet řady s rozkladem na parciální zlomky

#5 21. 10. 2012 14:23

Re: Součet řady s rozkladem na parciální zlomky

#6 21. 10. 2012 14:51

Re: Součet řady s rozkladem na parciální zlomky

#7 21. 10. 2012 15:56

Re: Součet řady s rozkladem na parciální zlomky

#8 21. 10. 2012 16:36

Re: Součet řady s rozkladem na parciální zlomky

Zápatí