Matematické Fórum

index007 · 21. 10. 2012 11:57

Zdravím,
trochu tápu u následující matematické indukce.
Zadání:
Pomocí matematické indukce dokažte, že $1/1! + 1/2!+ ... 1/n! <=2 - 1/n!$ platí pro každé $n>=1$ .

Předem děkuji za rady.

Brano · 21. 10. 2012 12:10

pre n=1 je to jasne.
v indukcnom roku si to rozpis pre k+1 a z idukcneho predpokladu a tohoto
$\frac{2}{(k+1)!}-\frac{1}{k!}\le 0$
to uz lahko vyjde. Tu nerovnost co som napisal si skus dokazat.

index007 · 21. 10. 2012 17:50

↑ Brano: Pořád mi ten můj příklad nevychází. Přišel jsem na to, že se to dá pomocí limit, ale nejsem si jist, zda je to dobře.

Brano · 21. 10. 2012 23:00

napis a pozriem (moze to byt dobre aj tak), ale ak mas v zadani priamo, ze to mas dokazat indukciu, tak by si to asi mal dokazat indukciou.
a co ti nevychadza - nevies dokazat tu nerovnost co som napisal, alebo nevies ako sa vyuzije v tom dokaze?

index007 · 22. 10. 2012 10:14

↑ Brano:
zjednodušený postup:
1) $V(n0): n0=1$

$1/n0!<=2-1/n0! \Leftrightarrow 1<=1$ platí

Předpoklad: $\sum_{i=1}^{n}1/i!<=2-1/(n)!$

2) $V(n+1):$
$(\sum_{i=1}^{n+1}1/i!) +(1/(n+1)! )+1 <=3$

pro levou stranu platí, že její limita jde zdola k eulerovu číslu, což je vždy menší jak 3
takže QED .. může tak být?.. ten postup jsem tu zjednodušil, ale snad je to v tom vidět

Brano · 22. 10. 2012 12:24

Je to v poriadku, ale problem je v tom, ze ta nerovnost sa dokazuje v ramci teorie aby si ukazal, ze ten rad konverguje - ukazes, ze postupnost ciastocnych suctov je zhora ohranicena a rastuca. Takze by simal byt schopny tu ohranicenost dokazat aj inak ako vyuzitim tej limity.

v indukcnom kroku pouzi
$\frac{1}{1!}+...+\frac{1}{k!}+\frac{1}{(k+1)!}\le 2-\frac{1}{k!}+\frac{1}{(k+1)!}\le 2-\frac{1}{(k+1)!}$
Prva nerovnost je z indukcneho predpokladu a druha vyplyva z toho co som napisal predtym

index007 · 22. 10. 2012 12:49

↑ Brano:
Už jsem to pochopil, ale sám bych na to nikdy nepřišel. Děkuju Ti ;).

Matematické Fórum

#1 21. 10. 2012 11:57

Důkaz pomocí matematické indukce

#2 21. 10. 2012 12:10

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#3 21. 10. 2012 17:50

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#4 21. 10. 2012 23:00

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#5 22. 10. 2012 10:14

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#6 22. 10. 2012 12:24

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

#7 22. 10. 2012 12:49

Re: Důkaz pomocí matematické indukce

Zápatí