Matematické Fórum

hell · 20. 10. 2012 22:51

Zdravim, potreboval by som dokazat toto matematickou indukciou: $6/n^{3}+11n$
Indukcny predpoklad: $6/k^{3}+11k$
pre n=k+1:
$6/(k+1)^{3}+11(k+1)$ netusim, ako sa mam pohnut dalej. Viem, ze musim dokazat IP, ale ak pouzijem binomicku vetu, vyjde blbost. Dakujem.

skoroakvarista · 20. 10. 2012 23:02

↑ hell:
Zdravím, já bych se té binomické věty nebál. Pokud ji použiješ správně, tak dostaneš výraz, který obsahuje $k^{3}+11k$ (to je dělitelné z předpokladu) plus navíc "něco". Otázka je, jestli 6 dělí "něco".

Brano · 20. 10. 2012 23:39

Len tak pre zaujimavost, indukciu v podstate ani netreba. Da sa to aj takto
$n^3+11n=12n+n^3-n=12n+n(n^2-1)=12n+n(n-1)(n+1)$ . Prvy scitanec je ocividne delitelny 6 a druhy je sucin troch po sebe iducich cisel, teda aspon jedno z nich je delitelne 3 a aspon jedno je delitelne 2.

hell · 21. 10. 2012 14:24

Dakujem za odpovede. V zadani mame napisane, ze to musime dokazat matematickou indukciou :)
Po pouziti binomickej vety dostanem nieco take: $6/(k^{3}+3k^{2}+14k+12)$

nejsem_tonda · 21. 10. 2012 14:31

Ano, takze podle toho, co rika ↑ skoroakvarista: zbyva ukazat, ze
$6\ |\ 3k^{2}+3k+12$
Podari se?

hell · 22. 10. 2012 22:12

netusim, ako na to. :) Viem, ze $k$ vyberiem pred zatvorku, ale to je vsetko.

skoroakvarista · 22. 10. 2012 22:47

↑ hell:
Zkus vytknout 3k a použít podobnou myšlenku, jakou používá ↑ Brano: pro výraz $n(n-1)(n+1)$ .

nejsem_tonda · 22. 10. 2012 22:49

↑ hell:
Delitelnost trojkou mame hned, protoze kazdy clen je delitelny trojkou. Zbyde ukazat, ze
$2\ |\ k^2+k+4$
Vzhledem k tomu, ze ctyrka je suda, zbyva ukazat
$2\ |\ k^2+k = k(k+1)$
Je jasne, jak to ted dodelat?

Matematické Fórum

#1 20. 10. 2012 22:51

Matematicka indukcia

#2 20. 10. 2012 23:02

Re: Matematicka indukcia

#3 20. 10. 2012 23:39

Re: Matematicka indukcia

#4 21. 10. 2012 14:24

Re: Matematicka indukcia

#5 21. 10. 2012 14:31

Re: Matematicka indukcia

#6 22. 10. 2012 22:12

Re: Matematicka indukcia

#7 22. 10. 2012 22:47

Re: Matematicka indukcia

#8 22. 10. 2012 22:49

Re: Matematicka indukcia

Zápatí