Matematické Fórum

Melchior · 23. 10. 2012 00:20

Zdravím, mám zde celkem zajímavý přiklad, se kterým jsem se ještě nesetkal (dnes jsem nebyl na cvičeních a tak si některé příklady z něj přepočítávám a nevím, zdali alespoň částečně uvažuji dobře).
Jedná se o to, že mám spočítat P[X<Y] pro případ, kdy veličiny X i Y mají exponenciální rozdělení (řekněme např.

$X \sim Exp(\lambda _{1}), Y \sim Exp(\lambda _{2})$

Dalším důležitým předpokladem je nezávislost X a Y
napadá mě to řešit to nějak polopaticky přes distribuční funkci.. z definice

$P[X < x] = 1 - e^{-\lambda _{1}x}$
$P[Y < x] = 1 - e^{-\lambda _{2}x}$

pro nezáporná x.
Předpoklad nezávislosti určitě použijeme v počítání podmíněné pravděpodobnosti (v čitateli máme pravděpodobnost průniku, což je z předpokladu nezávislosti součin pravděpodobností)

$P[X<Y] = P[X <x | Y > x] = \frac{P(X < x \cap Y > x)}{P(Y > x)}$

přičemž
$P(Y > x) = 1 - P(Y <x)$

Jenže když to numericky dosadím, tak se mi čitatel se jmenovatelem pokrátí a vychází mi distribuční funkce první veličiny (samozřejmě je to hloupost). Mohl by mi, prosím, někdo poradit/nakopnout mne? Děkuji.

Stýv · 23. 10. 2012 01:49

bude to chtít sdruženou hustotu vyintegrovat přes příslušnou oblast (tj. x<y)

Melchior · 23. 10. 2012 10:41

pravda, to mne nenapadlo... díky

Matematické Fórum

#1 23. 10. 2012 00:20

Teorie pravděpodobnosti - dvojice náhodných veličin

#2 23. 10. 2012 01:49

Re: Teorie pravděpodobnosti - dvojice náhodných veličin

#3 23. 10. 2012 10:41

Re: Teorie pravděpodobnosti - dvojice náhodných veličin

Zápatí