Matematické Fórum

Aquabellla

Ahoj, mám problémy s tímto příkladem:

Určete pomocí Weierstrassova kritéria, že řada konverguje stejnoměrně.
$\sum_{n = 2}^{\infty} \ln \left(1 + \frac{x^2}{n \cdot \ln^2n} \right)$ , kde $|x| < a$ , $a > 0$ .
Nápověda: $\ln(1 + x) \leq x$

Vím, že potřebuji najít takovou konvergentní řadu $a_n$ , pro kterou platí: $|f_n(x)| \leq a_n$ .
Z nápovědy plyne, že: $a_n = \frac{x^2}{n \cdot \ln^2n}$ .
$|x| < a$ => $x^2 < a^2$ => $a_n = \frac{a^2}{n \cdot \ln^2n}$ , kde $a >0$ .

Podle wolframu se má použít srovnávací kritérium. Jediné, co mě napadá použít, je $b_n = \frac{1}{n^2}$ , jenže mi vyjde $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \infty$ , takže konvergence dokázaná není.

Napadá, prosím, někoho, jak konvergenci řady $a_n$ dokázat?
Předem děkuji za každou radu.

Pavel Brožek

↑ Aquabellla:

Ahoj, použil bych integrální kritérium.

Edit: Ono je poměrně známé, že řada členů $\frac1{n\cdot\ln^{1+\varepsilon} n}$ je pro $\varepsilon>0$ konvergentní (dokáže se právě integrálním kritériem), takže to možná WolframAlpha srovnával s ní.

Aquabellla · 23. 10. 2012 19:33

↑ Pavel Brožek:

Děkuji moc :-)

$\int_2^{\infty} \frac{a^2}{x \cdot \ln^2 x} dx = \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{a^2}{t^2} dt = \left[-\frac{a^2}{t}\right]_{\ln 2}^{\infty} = \frac{a^2}{\ln 2}$

Matematické Fórum

#1 23. 10. 2012 18:36 — Editoval Aquabellla (23. 10. 2012 19:28)

Stejnoměrná konvergence - Weierstrassovo kritérium

#2 23. 10. 2012 18:42 — Editoval Pavel Brožek (23. 10. 2012 19:21)

Re: Stejnoměrná konvergence - Weierstrassovo kritérium

#3 23. 10. 2012 19:33

Re: Stejnoměrná konvergence - Weierstrassovo kritérium

Zápatí