Matematické Fórum

Aquabellla · 23. 10. 2012 20:16

Určete limitu posloupnosti funkce ${f_n(x)}^{\infty}_{n=1}$ a rozhodněte, zda se jedná o stejnoměrnou konvergenci na intervalu I:
$f_n(x) = \frac{1}{1 + nx}, I = (0, \infty)$

Limita: $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + nx} = 0$ => $f(x) = 0$

Stejnoměrná metrika: $\rho _c(f_n,f) = \max_{x \in (0, \infty)} \biggl|\frac{1}{1 + nx}\biggr|$ - maximum se hledá tak, že se derivace položí rovno nule:
$\left(\frac{1}{1 + nx}\right)' = -\frac{n}{(1 + nx)^2} = 0$ - funkce nemá stacionární bod, nemá extrém. Nemá ani krajní body.

Pokud bych našla maximum, dosadila bych za x v metrice a výsledek poslala do nekonečna. Pokud by limita metriky byla nulová, jednalo by se o stejnoměrnou konvergenci. Podle výsledku se má v tomto příkladě jednat o stejnoměrnou konvergenci. Prosím, jak to dopočítat?
Předem děkuji za každou odpověď.

Aquabellla · 23. 10. 2012 20:24

↑ Aquabellla:

Tak vyřešeno, právě nám slečna cvičící sdělila, že je chyba v zadání, má tam být $I = [1, \infty)$ . Pak už to samozřejmě pro krajní bod $x = 1$ vychází :-)

Matematické Fórum

#1 23. 10. 2012 20:16

Stejnoměrná konvergence

#2 23. 10. 2012 20:24

Re: Stejnoměrná konvergence

Zápatí