Matematické Fórum

erzebet · 24. 10. 2012 20:14

Príklad: Mám 8 ľudí vo výťahu v 5-poschodovom dome (môžu vystúpiť na 1. až 5.tom poschodí)
Koľko je takých možností, že na každom poschodí vystúpi aspoň jeden človek.

Andrejka3 · 26. 10. 2012 22:26

↑ erzebet:
Ať teda vystoupí právě jeden v každém patře. Zbývá nám rozhodnout o cestě 3 lidí.
Mohou vystoupit v libovolném z pěti pater.
(čtyři přihrádky, 3 kuličky
či
součet 5 nezáporných čísel je tři)
vyjde tedy ${7 \choose 3}$ .

JohnPeca18 · 26. 10. 2012 23:21

Hm a nezalezi na tom kto kde vystupi?

Andrejka3

↑ JohnPeca18:
Počítám s tím, že ne.

Kdyby ano, mohu použít princip inkluze a exkluze.
$5^8$ je celkový počet možností.
Doplněk k $N=\{\text{scenar}; \; \text{aspon jeden v kazdem patre vystoupi}\}$ je $M=\{\text{scenar}; \; \exists \text{ patro, kde vystoupi nula lidi}\}$ .
$M= \bigcup_{i=1}^5 M_i$ , kde $M_i=\{\text{scenar}; \; \text{ v i tem patre vystoupi nula lidi}\}$ .
Je třeba znát $c_k=|\bigcap_{i=1}^kM_i|$ pro $k=1,\dots ,5$ , protože mohutnosti těchto průniků závisí jen na počtu množin, jejichž průnik děláme.
Je $c_k=(5-k)^8$ .
Z PIE je $|M|= \sum_{k=1}^5 (-1)^{k-1} {5 \choose k} c_k=\sum_{k=1}^5 (-1)^{k-1} {5 \choose k} (5-k)^8 = \sum_{k=1}^4 (-1)^{k-1} {5 \choose k} (5-k)^8$ .
Vysledek: $5^8 - |M|$ .
Je to tak?