Matematické Fórum

drabi · 24. 10. 2012 22:13

Ahoj, potřebovala bych pomoct s jedním odůvodněním. Bohužel jsme k tomu teorii zatím neměli, takže mám intuitivní řešení, ale nevím, jak ho obhájit.
Mám najít takové $n \in \mathbb{N}$ , že $13 | 4(n^2 + 1)$
jelikož $\text{NSD}(4,13) = 1$ , pak hledáme tedy takové $n$ , že $13 | n^2 + 1$ .
Stačí uvažovat jen $n \in \{0,1,2,\dots, 12\}$ a z nich pouze taková, že $n^2 + 1 \ge 13$ , což nám omezí takto:
$n \in \{4,5,6,\cdots,12\}$
Z toho jsem už pak našla hledaná $n$ a řešení je tedy ve tvaru
$n \in \{5 + 13k, 8 + 13k, k \in \mathbb{N}\}$

Nešlo by to ale dělat nějak elegantněji, protože pro větší čísla bych nad tím samozřejmě strávila spoustu času.

Mohl by mi s tím prosím někdo poradit? Díky

vanok · 24. 10. 2012 22:42

Ahoj ↑ drabi:,
1° prve zjednodusenie je pracovat modulo $13$
2° ina metoda na zjednodusenie je napr tato uvaha.
Akoze ak $n^2+1$ je delitelne 13-my, len a len ak (n+13)^2 je tiez.
Tak staci uvazovat
$n \in \{-6,-5,\dots ,5, 6 \}$
A naviac, vieme, ze $(-n)^2=n^2$
cize staci urobit uvahu pre
$n \in \{0,1,2,\dots, 6\}$ .

Tvoja uvaha
a z nich pouze taková, že $n^2 + 1 \ge 13$ , což nám omezí takto:
$n \in \{4,5,6,\cdots,6\}$ ...
zjednodusi to este viac.

Staci?

drabi · 24. 10. 2012 22:45

↑ vanok:
jo to vypadá dobře, díky:)

Matematické Fórum

#1 24. 10. 2012 22:13

dělitelnost

#2 24. 10. 2012 22:42

Re: dělitelnost

#3 24. 10. 2012 22:45

Re: dělitelnost

Zápatí