Matematické Fórum

ajeto · 25. 10. 2012 00:21

Dobrý večer,

riešim nasledovný problém:

Nech $N\geq 1$ . Nech $L:l^2\rightarrow \mathbb{C}$ je definované predpisom $L(\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}) = a_N$ .
Ukážte že $L$ je ohraničený lineárny funkcionál a nájdite vektor $a_0 \in l^2$ taký že $L(a)=\langle a,a_0\rangle ,\,\forall a \in l^2$ .

S ohraničenosťou a lineárnosťou problém nie je,
len mi nie je úplne jasné ako hľadať vektor $a_0$ .

Vďaka

Rumburak · 25. 10. 2012 09:43

Zdravím . Přirozené číslo $N\geq 1$ je, předpokládám, pevně zvoleno.

Předně si musíme uvědomit definici skalárního součinu v $l^2$ nad $\mathbb{C}$ :

Jsou-li $a = (a_n) , b = (b_n) \in l^2$ , potom , pokud se nepletu , $\langle a,b\rangle = \sum_{n=1}^{\infty}a_n\overline{b_n}$ .

Aby se též nepopletla symbolika, nehledejme vektor (posloupnost) $a_0$ , ale vektor (posloupnost) $c = (c_n) \in l^2$ ) takový, aby

(1) $L(a)=\langle a,c\rangle , \,\forall a \in l^2$ .

Podle definice funkcionálu $L$ a sk. součinu výrok (1) znamená

(2) $a_N= \sum_{n=1}^{\infty}a_n\overline{c_n} ,\, \forall a \in l^2$ .

Odtud by to už mělo být jasné.

ajeto · 25. 10. 2012 21:05

vďaka ↑ Rumburak:

odtiaľto to vyzerá že $c=e_N$ ..

$e_N:= (0,0,0, \dots , 0,\underbrace{1}_{N.miesto},0, \dots)$

ešte pre istotu, je správne $\|L\|=1$ ?

Rumburak

↑ ajeto:
1) Toto $c=e_N$ je správně.

2) K té normě: rovněž "ano".

Podle definice normy lin. funkcionálu máme

$\|L\|= \sup_{\|x\| = 1} |L(x)| = \sup_{\|x\| = 1} |x_N| \le 1$ ,

protože $|x_N| \le \|x\|$ .

Speciálně pro $x = e_N:= (0,0,0, \dots , 0,\underbrace{1}_{N.miesto},0, \dots)$ je $\|x\| = 1 , L(x) = x_N = 1$ .

Matematické Fórum

#1 25. 10. 2012 00:21

lineárny funkcionál

#2 25. 10. 2012 09:43

Re: lineárny funkcionál

#3 25. 10. 2012 21:05

Re: lineárny funkcionál

#4 26. 10. 2012 10:23 — Editoval Rumburak (26. 10. 2012 10:25)

Re: lineárny funkcionál

Zápatí