#1 25. 10. 2012 15:58
- Anonymystik
- Příspěvky: 585
- Reputace: 45
Dokažte rovnost
Zdravím. Po nějaké době mě zase napadla pěkná úloha. Tak jsem se rozhodl ji sem dát:
Nechť 
je k-tý člen známé Fibbonacciho posloupnosti, definované předpisem 
. Ukažte, že platí následující rovnost: 
.
"Do you love your math more than me?" "Of course not, dear - I love you much more." "Then prove it!" "OK... Let R be the set of all lovable objects..."
Offline
#2 01. 11. 2012 16:42
- Anonymystik
- Příspěvky: 585
- Reputace: 45
Re: Dokažte rovnost
↑ Anonymystik: Zdravím. Nikdo neřeší, takže sem dám pro zájemce malý hint:
"Do you love your math more than me?" "Of course not, dear - I love you much more." "Then prove it!" "OK... Let R be the set of all lovable objects..."
Offline
#3 11. 02. 2015 23:15
Re: Dokažte rovnost
↑ Anonymystik: Vsadím boty na to, že trikové řešení spočívá v nějaké vtipné kombinatorické interpretaci. (-:
Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.
Offline
#4 11. 02. 2015 23:56
- check_drummer
- Příspěvky: 5577
- Reputace: 106
Re: Dokažte rovnost
Ahoj, levá strana připomíná konvoluci. Dál jsem se zatím konkrétněji nedostal.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#5 12. 02. 2015 00:11
- check_drummer
- Příspěvky: 5577
- Reputace: 106
Re: Dokažte rovnost
Tak ještě jednou, takový nástřel:
lze aproximovat jako 
, kde 
je větší z řešení rovnice (*) 
. Potom tedy lze levou stranu dokazované rovnosti upravit po dosazení uvedené aproximace pomocí binomické věty na 
- ovšem podle (*) lze 
psát jako 
a tedy dostaneme 
, což je tedy aproxmace 
- a pravá strana dokazované rovnosti."Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#6 12. 02. 2015 11:01
Re: Dokažte rovnost
je operátor spätného posunu t.j. 
pre 
. Potom môžeme písať 
pre 
, kde využívame operátor 
a definujeme 
. 
v dokazovanej rovnosti, potom tvrdenie zrejme platí.
. Pretože operátory 
a Offline
#7 12. 02. 2015 11:21
Re: Dokažte rovnost
![$
F_n=\frac 1{\sqrt 5}\left[\left(\frac{1+\sqrt 5}2\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt 5}2\right)^n\right]
$](/mathtex/4d/4d34eb3d75d26f9d0033e4990aac1de1.gif "kopírovat do textarea")
![$
\sum_{k=0}^{n}{{n}\choose{k}}F_{k} &= \frac 1{\sqrt 5}\left[\sum_{k=0}^{n}{{n}\choose{k}}\left(\frac{1+\sqrt 5}2\right)^k-\sum_{k=0}^{n}{{n}\choose{k}}\left(\frac{1-\sqrt 5}2\right)^k\right]\\
&=\frac 1{\sqrt 5}\left[\left(1+\frac{1+\sqrt 5}2\right)^n-\left(1+\frac{1-\sqrt 5}2\right)^n\right]\\
&=\frac 1{\sqrt 5}\left[\left(\frac{3+\sqrt 5}2\right)^n-\left(\frac{3-\sqrt 5}2\right)^n\right]\\
&=\frac 1{\sqrt 5}\left[\left(\frac{1+\sqrt 5}2\right)^{2n}-\left(\frac{1-\sqrt 5}2\right)^{2n}\right]=F_{2n}
$](/mathtex/2a/2a893d59f536e7701f15e31aa39acb54.gif "kopírovat do textarea")
Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.
Offline
#8 12. 02. 2015 16:51
- check_drummer
- Příspěvky: 5577
- Reputace: 106
Re: Dokažte rovnost
↑ Pavel:
Ahoj, to je to přesné vyjádření z mého příspěvku :-) - nenapadlo mě, že půjde přímo upravit rovněž pomocí binomické věty.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#9 12. 02. 2015 17:32
- check_drummer
- Příspěvky: 5577
- Reputace: 106
Re: Dokažte rovnost
↑ xxMari:
Ahoj, velmi pěkné. Malá ("duální") modifikace:
a dále postupujeme zcela analogicky - jen platí tvrzení
. A potom analogie Tvé úpravy bude:"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline