Matematické Fórum

niko9 · 26. 10. 2012 16:22

ahoj poradil by mi někdo prosím jak vypočítat tento příklad:
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{arctg^{n}n}{2n}$

použiju podílové kritérium..

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{arctg^{n}n}{2n}=\lim_{n\to\infty }\frac{arctg^{n+1}n+1}{2n+2}\cdot \frac{2n}{arctg^{n}n}=\lim_{n\to\infty }\frac{arctg^{n+1}n+1}{n+1}\cdot \frac{n}{arctg^{n}n}$

dál už nevím..

Rumburak · 26. 10. 2012 17:13

Ahoj.

Ta rovnost $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{arctg^{n}n}{2n}=\lim_{n\to\infty }\frac{arctg^{n+1}n+1}{2n+2}\cdot \frac{2n}{arctg^{n}n}$

pravděposobně neplatí : na levo je součet řady, napravo limita jakéhosi podílu.

Zkoumej, zda je splněna nutná podmínka konvergence .

niko9 · 26. 10. 2012 22:18

nutná podmínka by tedy byla $\lim_{n\to\infty }\frac{arctg^{n}n}{2n}=0$ ?...stejně, ale nevím co s tím dál... výsledek by měl být $q=\frac{1}{4}\pi$

neuměl by mi někdo prosím poradit ??

Rumburak

A je tato podmínka $\lim_{n\to\infty }\frac{\arctan^{n}n}{2n}=0$ (kde arctan = arctg) splněna ? Já bych řekl, že není.

Platí totiž:

$\lim_{n\to\infty }\arctan n = \frac {\pi}{2} > \frac {3}{2} > 1$ ,

takže existuje $D > 0$ takové, že pro každé $n > D$ je $\arctan n > \frac {3}{2}$ , tedy pro tato $n$ je rovněž

$\arctan^n n > $\frac {3}{2}$^n$ ,
$\frac {\arctan^n n}{2n} > \frac{1}{2n}$\frac {3}{2}$^n$ .

Limita pravé strany v posledním odhadu je $+\infty$ , tutéž limitu pak nutně má i levá strana.

PS. číslo $q$ má být co ?

Pokud bychom chtěli použít některá kriteria konvergence, i tato možnost zde je. D'Alembert dává

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac {\arctan^{n+1} (n+1)}{2(n+1)} }{\frac {\arctan^n n}{2n} } = \frac{n}{n+1}\cdot $\frac{\arctan(n+1)}{\arctan n}$^n \cdot \arctan(n+1)$ ,

$\liminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{n}{n+1}\cdot \liminf_{n \to \infty}$\frac{\arctan(n+1)}{\arctan n}$^n \cdot \lim_{n \to \infty}\arctan(n+1) \ge 1 \cdot 1 \cdot \frac{\pi}{2} > 1$ ,

tedy opět divergenci .