Matematické Fórum

Witiko · 26. 10. 2012 20:19 — Editoval Witiko (26. 10. 2012 20:38)

Zdravím,

mezi základními operaci s maticemi jsme ve škole probírali výpočet inverzní matice:
$A*A^{-1} = E, E = jedn.matice$

kdy se pomocí rozšířené matice ekvivalentními úpravami přepočítá:
$(A|E) \Rightarrow (E|A^{-1})$

A gaussovskou eliminaci soustavy rovnic:
$a*x + b*y = e\\ c*x + d*y = f\\\\\equiv\\\\ \left( \begin{array}{ccc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} a*x + b*y \\ c*x + d*y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} e \\ f \end{array} \right)$

která se opět pomocí ekvivalentních úprav vypočítá:
$\left( \begin{array}{cc|c} a & b & e\\ c & d & f \end{array}\right) \Rightarrow \left( E \begin{array}{|c} x\\y \end{array}\right)$

Došlo mi, že oba případy jsou velice podobné a řeší vlastně obecně následující případ s maticemi:
$Znama_{1} * Neznama = Znama_{2}\\ (Znama_{1}|Znama_{2})\Rightarrow(E|Neznama)$

Přemýšlel jsem, jaká je mezi vzorečky závislost. Se skaláry by člověk vyřešil situaci následovně:
$Neznama = Znama_{2} / Znama_{1}$

Chvíli jsem na to koukal a pak mě napadlo, jestli náhodou není rozšířená matice přepisem zlomku položeným na "pravý bok". Tedy jestli:
$(Znama_{1} | Znama_{2}) \Rightarrow (E|Neznama)$

není:
$\frac{Znama_{2}}{Znama_{1}} = \frac{Neznama}{E}, tedy: Neznama = \frac{Znama_{2}}{Znama_{1}}$

Díky tomu by mi nejen rozšířené matice dávaly smysl, ale zároveň by platilo, že rozšířená matice (jakožto symbolické znázornění podílu matic) by při ekvivalentních úpravách se svou upravenou verzí byla nejen v relaci (jako je tomu u obecné matice), ale vždy v relaci rovnosti.

Bohužel jsem k rozšířeným maticím nenašel žádnou literaturu, která by mé domněnky vyvracela / potvrzovala. Proto mi to přišlo jako dobrá otázka na diskuzní fórum.

kaja.marik · 26. 10. 2012 23:11

Rekl bych, ze to vychazi z toho, ze radkove upravy jsou ekvivalentni vynasobeni jistou matici zleva. A pokud postupne delam upravy , ktere prevedou na jednotkovou, tak jsem vlastne vynasobil jednotkovou matici. Kdyz ty stejne upravy delam na jednotkove matici, tak budu mit matici inverzni krat jednotkovou, tj inverzni. A abych si nemusel znacit jake upravy prave delam, delam to soucasne v rozsirene matici.

U podilu pozor - nemame komutativitu. Nejake podily jsou, ale zvlast levy a zvlast pravy podil a moc casto se s nima asi nepracuje.

Matematické Fórum

#1 26. 10. 2012 20:19 — Editoval Witiko (26. 10. 2012 20:38)

Rozšířené matice jako symbolické znázornění podílu matic?

#2 26. 10. 2012 23:11

Re: Rozšířené matice jako symbolické znázornění podílu matic?

Zápatí