Matematické Fórum

kryštof · 27. 10. 2012 13:53

ahoj
$
Zkoušel jsem substituci sqrt(x+y)=u, sqrt(x-y)=v, ale nevim co s tou odmocninou sqrt(x^2+y^2) ve druhé rovnici. Mohli byste mi dat nějaký náznak? Díky za pomoc.

BakyX · 27. 10. 2012 14:03

Ahoj.

Ak chceš ísť týmto smerom, tak:

$x^2+y^2=\frac{u^4+v^4}{2}$

kryštof

↑ BakyX:
Tím se ale nezbavím té odmocniny ve 2. rovnici. Je ještě jiný způsob substituce než tenhle?

BakyX · 27. 10. 2012 14:22

↑ kryštof:

Môžem sa spýtať odkiaľ je ten príklad ? Nie je to veľmi jednoduché, ani štandardné.

kryštof · 27. 10. 2012 14:23

↑ BakyX:
Je to ze sbírky pro SŠ.

houbar · 27. 10. 2012 14:49

↑ BakyX:

Počkejte, pokud $u+v=s$ , tak jaktože $s^4=(u+v)^4$ ? Vždyyť $(u+v)^4= u^4+4u^3v+6u^2v^2+4uv^3+v^4$ !

BakyX · 27. 10. 2012 15:01

↑ kryštof:

1. Prvú rovnicu umocníš a tým pádom vyjadríš $\sqrt{x^2-y^2}$ pomocou $x$ .

2. Potrebuješ ešte vyjadriť $y^2$ , preto vyjadrenie pre $\sqrt{x^2-y^2}$ umocníš a tak ľahko žiadané $y^2$ vyjadríš.

3. Dosadíš to všetko do druhej rovnice, ktorá je už v premennej $x$ . Po vhodnej úprave a umocnení z toho ostane iba LINEÁRNA rovnica v premennej $x$ s parametrom $a$ . Vypočítaš $x$ (bude pekné).

4. Z vyjadrenie pre $y^2$ nájdeš vyjadrenie pre $y$ pomocou $a$ (tiež bude pekné).

5. Urobíš skúšku a tým pádom aj diskusiu pre parameter $a$ .

BakyX · 27. 10. 2012 15:16 — Editoval BakyX (27. 10. 2012 15:27)

↑ BakyX:

Zhrnutie riešenia:

1. Spravíme substitúciu $\sqrt{x+y}=u$ , $\sqrt{x-y}=v$ . Potom $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\frac{u^4+v^4}{2}}$ .

2. Spravíme ďalšiu substitúciu: $uv=p$ , $u+v=s$ . Platí $u^4+v^4=s^4-4s^2p+2p^2$

3. Sústavu máme v tvare $s=4\sqrt{a}$ , $\sqrt{\frac{s^4-4s^2p+2p^2}{2}}=(\sqrt{41}-3)a+p$ . Dosadením $s$ do druhej rovnice máme rovnicu, ktorá po umocnení na druhú je v $p$ LINEÁRNA.

4. Vypočítame z tejto rovnice $p$ . Čísla $u,v$ určíme ako korene rovnice $z^2-sz+p=0$ .

5. Vypočítame $x,y$ zo sústavy $\sqrt{x+y}=u$ , $\sqrt{x-y}=v$ .

6. Urobíme skúšku a tým pádom aj diskusiu pre parameter $a$ .