Matematické Fórum

Blackflower · 27. 10. 2012 20:46

Zdravím,
mám tento príklad :
Určte, ku ktorému bodu v $\mathbb{R}^3$ konverguje postupnosť $x^n=(\sqrt[n]{\frac{3}{n}-\frac{n}{7^n}},n(\sqrt{n^2-5}-n),4(\frac{n^2+6}{n^2+2})^n)$ .
Neviem si vôbec poradiť s tými limitami.
Vopred ďakujem.

JohnPeca18 · 27. 10. 2012 21:08

2. limita co tak rozsirit to $\frac{\sqrt{n^2-5}+n}{\sqrt{n^2-5}+n}$
3. limita pouzit zapis, $a^x=e^{x\ln{a}}$ a potom by tam mala byt nejaka veta, ze
$\lim_{x\to1}\frac{\ln{x}}{x-1}=1.$
Vies co myslim? Dufam ze nekecam .. .

Blackflower · 27. 10. 2012 21:26

↑ JohnPeca18: Som hlúpa, tá druhá mi mala hneď napadnúť... vyšlo mi to -5/2.
Ale čo sa týka tej tretej, neviem, ako mám pokračovať... zapísala som si to ako $e^{n*ln\frac{n^2+6}{n^2+2}}$ , rozložila ln podľa súčtového vzorca, ale tam končím...

JohnPeca18 · 27. 10. 2012 21:36

↑ Blackflower:
3. napis si
$n\ln (1+\frac{4}{n^2+2})=\frac{4n}{n^2+2}\frac{\ln (1+\frac{4}{n^2+2})}{\frac{4}{n^2+2}}=\frac{4n}{n^2+2}$

Melo by to takhle fungovat. Nekde by to melo byt i v tom co ste se ucili, nejaky takovy trik ak si to dobre pametam.

Brano · 27. 10. 2012 21:37

$\left(\frac{n^2+6}{n^2+2}\right)^n=\left(1+\frac{4}{n^2+2}\right)^{\frac{n^2+2}{4}\frac{n}{n^2+2}}\to e^0=1$

$\sqrt[n]{\frac{3}{n}-\frac{n}{7^n}}$
toto by som asi zlogaritmoval a skusil L'Hopitala

JohnPeca18

k te jednicce este ma napadlo

Skusil bych dokazat nasledujucu nerovnost
$1=\frac{1}{7}\sqrt[n]{\frac{7^n}{n}} \leq \frac{1}{7}\sqrt[n]{\frac{3.7^n-n^2}{n}} \leq \frac{1}{7}\sqrt[n]{3.7^n}=1$

Ale nemam rozmyslene jak dokazat tu levou nerovnost, tak nevim jestli to plati.

Blackflower · 27. 10. 2012 21:49

↑ Brano: ↑ JohnPeca18: Už to mám, veľká vďaka obidvom!

Matematické Fórum

#1 27. 10. 2012 20:46

Limita postupnosti

#2 27. 10. 2012 21:08

Re: Limita postupnosti

#3 27. 10. 2012 21:26

Re: Limita postupnosti

#4 27. 10. 2012 21:36

Re: Limita postupnosti

#5 27. 10. 2012 21:37

Re: Limita postupnosti

#6 27. 10. 2012 21:46 — Editoval JohnPeca18 (28. 10. 2012 00:27)

Re: Limita postupnosti

#7 27. 10. 2012 21:49

Re: Limita postupnosti

Zápatí