Matematické Fórum

skodm · 10. 10. 2012 10:53

Ahojte,
prosím o pomoc s následujícím:
Je známý koeficient korelace mezimezi náh. veličinami A a B (např. 0,38), dále mezi veličinami A a C (0,67).
Je možno na základě těchto známých údajů prohlásit něco o korelaci mezi veličinami B a C? Pokud ano/ne, z čeho to plyne?
Děkuji a zdravím.

skodm · 26. 10. 2012 12:26

UP, budu vděčný za jakýkoli postřeh...

skodm · 26. 10. 2012 15:33

Zatím jsem se nedočkal žádné reakce - přijde vám ta otázka špatně položená?

Brano · 26. 10. 2012 23:59 — Editoval Brano (27. 10. 2012 00:13)

Otazka je dobre polozena. Teda predpokladam, ze to su jedine informacie ktore mame. Nuz tazko mi je tu pisat nejaku radu ... napisem rovno riesenie.

Nech
$x=\frac{A-E(A)}{\sqrt{D(A)}}$ $y=\frac{B-E(B)}{\sqrt{D(B)}}$ $z=\frac{C-E(C)}{\sqrt{D(C)}}$
potom
$r(A,B)=r(x,y)=E(xy)$ a oznacme $E(xy)=x\cdot y$ , podobne $r(A,C)=...=x\cdot z$ . Vsimni si, ze sa naozaj jedna o skalarny sucin a mozeme si teda $x,y,z$ "predstavovat" ako vektory v $\mathbb{R}^3$ .
Vsimni si, ze $x^2=x\cdot x=1$ ... ta prva rovnost je definicia oznacenia $x^2$ - teda NEMYSLIM tym druhu mocninu tej nahodnej premennej ale jej disperziu.
Rovnako aj $y^2=1$ a $z^2=1$ . Nech $x\cdot y=p$ a $x\cdot z=q$ ... toto je tvoje zadanie.
Definujeme $y'=y-px$ a $z'=z-qx$ , potom $y'\cdot x=0$ , $y'^2=1-p^2$ , $z'\cdot x=0$ , $z'^2=1-q^2$ a $y\cdot z=pq+y'\cdot z'=pq+r\sqrt{(1-p^2)(1-q^2)}$ ,
kde $r$ je kosinus uhla medzi $y',z'$ , alebo inymi slovami $r=r(y',z')$ .
Teraz si vsimni, ze na to aby boli splnene podmienky zo zadania, tak $y',z'$ mozu byt lubovolne vektory z ortogonalneho doplnku k $x$ s patricnou dlzkou, cize $r$ moze byt lubovolne z $[-1,1]$ .
Teda jedine co vieme povedat je, ze
$r(B,C)=y\cdot z\in \left[pq-\sqrt{(1-p^2)(1-q^2)}\ ,\ pq+\sqrt{(1-p^2)(1-q^2)}\right]$ .
Este ako malu skusku spravnosti (skor taky "sanity check") si mozes overit, ze ten interval je podmnozina $[-1,1]$ pre lubovolne $p,q\in[-1,1]$ ... mne to vyslo.

PS: Urcite si vsetko poriadne skontroluj, ci som neurobil chybu.